材料力学第十三章

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1、对于线弹性体：（余能=应变能）卡氏第二定理卡氏第一定理：公式中k为广义力Fk的相应广义位移公式中的广义力Fk为相互独立的变量Page例4：图示刚架，EI为常数，1、求A点的水平与垂直位移；2、分析的意义。FFAaaF2AaaF11、求位移2、Page讨论的意义FFAB代表AB两点的相对位移若两个F反向，为两载荷对应的相对线位移的意义ABMM若两个M反向，为两载荷对应的相对角位移Page例5：各杆EA相同，求A、B两点的相对水平位移和AB杆的转动角ABaaaPABaaaP1P1PPageA

2、BaaaP求AB杆的转动角MM/aM/aABPage本讲内容例题分析§13-5单位载荷法§13-4虚功原理Page引言附加载荷法在C截面附加一弯曲力偶M在附加力矩后，使得弯矩方程更加复杂例：求梁中间截面C截面的转角,已知EI、a、P、q。ABPq/2a/2aa/2CDHABPq/2a/2aa/2CDMHPage回顾刚体虚功原理处于平衡状态的任意刚体，作用于其上的力系在任意虚位移或可能位移上所作之总虚功等于零。虚位移：满足约束条件的微小位移虚位移是虚构的，与刚体上的作用力无关对于变形体又

3、有什么样的结论？变形体区别于刚体的两个特点：除了可以有虚位移之外，还有虚变形在加虚位移时，外力在虚位移会做功，内力在虚变形上也会做功§13-4虚功原理Page变形体虚功原理Plq(x)TFq(x)FSFNMT结构整体平衡所有外力构成一组平衡力系结构任一段平衡截面上内力与该段外力构成一组平衡力系可能内力：满足平衡方程与静力边界条件的内力对于静定系统，可能内力即为真实内力对于静不定系统，满足变形协调条件的可能内力才是真实内力平衡外力系与可能内力构成静力许可场PagePlq(x)TF若加一

4、虚位移(可能位移)微段(刚体)虚位移虚变形不同于刚体可能位移：满足位移边界条件及变形连续条件的任意微小位移可能位移与变形构成运动许可场dxd*/2d*/2dxd*/2d*/2dxd*/2d*/2dxd*/2d*/2dxdxPage研究外力和内力所作的虚功方法：分析微段上力系在虚位移和虚变形上所作总虚功微段的受力分析：微段上作用有外力和内力微段处于平衡状态外虚功：内虚功：微段的变形分析：微段上有(刚体)虚位移和虚变形外力在虚位移上所作的功内力在虚变形上所作的功We——静力许可场

5、的外力在运动许可场的位移上所作虚功Wi——静力许可场的内力在运动许可场的变形上所作虚功Page微段上力系在虚位移和虚变形上所作总虚功(一)：力系在虚位移上所作虚功力系在虚变形上所作虚功刚体虚功原理外力在虚变形上不作功内力在虚变形上所作虚功dxdxq(x)FSFNMTPage微段上力系在虚位移和虚变形上所作总虚功(二)：外力在虚位移和虚变形上所作虚功内力在虚位移和虚变形上所作虚功1、内力均作用于切开面上2、切开处的两面上，内力大小相等、方向相反，总虚位移相同dxdxq(x)FSFNMTPage变

6、形体虚功原理处于平衡状态的变形体，外力在虚位移上所作虚功，恒等于可能内力在虚变形上所作虚功。与虚位移相应能够与外力平衡Page任意杆件内虚功的计算通常略去FNdxd*/2d*/2dxd*/2d*/2dxd*/2d*/2dxd*/2d*/2TMFsPage例：验证虚功原理q(x)lAxdx虚位移位移边界条件与变形连续条件Page位移边界条件静力边界条件Page关于虚功原理：内力与外力满足平衡方程与静力边界条件外力在虚位移作功=内力在虚变形作功虚位移是任意微小的、可能的位移

7、虚变形是与虚位移相对应的变形虚功原理适用于线弹性、非线弹性、非弹性结构静力许可场的外力在运动许可场的位移上所作虚功静力许可场的内力在运动许可场的变形上所作虚功Page§13-5单位载荷法回顾求杆或杆系轴线上一点位移的计算方法直接计算法(画变形图、积分法等)利用功能原理利用卡氏第二定理不适宜解决复杂问题只能求解作用有单个广义力时，该广义力的相应位移只适用于线弹性体，对于复杂问题，使内力方程更复杂单位载荷法：一种新的计算方法。Page单位载荷法理论基础：变形体虚功原理任务：变形体在已知

8、载荷作用下，求任意一点沿任一方向的位移q(x)PAnn例：求任一A截面沿任一方向n-n方向的位移A截面上没有作用广义力杆系结构上作用有多个广义力所求位移不为某一广义力的相应位移Pageq(x)PAnnAnn1方法一：卡氏第二定理方法二：虚功原理处于平衡状态的变形体，外力在虚位移上所做功等于内力在虚变形上所做功。选择单位载荷状态选择虚位移将真实载荷状态下的位移作为虚位移Pageq(x)PAnnAnn1研究单位载荷状态，并取真实载荷引起的位移作为虚位移。虚功原理的表达式：真实