材料力学(13)第十三章-21

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1、能量守恒从零开始，缓慢加载忽略动能与热能的损失克拉比隆定理：成立的前提是对于线弹性体、小变形情况；功能原理上节内容回顾Page弹性杆应变能(变形能)的一般表达式：1、利用能量守恒：通过计算外力功来计算应变能FN当外力为常值，且其相应位移可直接求出时，宜用此方法：MTPage杆件的应变能的计算——通过计算微段的内力功：FN(x)M(x)Q(x)T(x)dxFN(x)dx忽略剪力的影响T(x)dxdM(x)dxdPage123dxdydz三向应力状态下的应变能：对于非主平面微体：杆

2、件的应变能的计算——通过计算微体的应变能：Page本讲内容§13-3余能与卡氏第二定理§13-2互等定理Page§13-2互等定理线弹性体上作用有多个广义力时，弹性体的应变能或外力功与外力的加载次序无关。ADF1B1F2C2ADF1B1121ADF2C2212F1PageADF2C1222ADF2C2111F1若改变加载次序：功的互等定理——i代表位置，j代表载荷若F1=F2位移互等定理Page有关位移互等定理的讨论：在梁变形实验中的应用：ADFBADBF其它情况：A

3、CFBACFB只要克拉比隆定理成立Page关于功的互等定理的说明：成立的前提是对于线弹性体、小变形情况；两组外力之间，功的互等定理也成立；ADFMADFADFFMPage功的互等定理的应用：例1：图示简支梁，已知C点处作用集中力F时，B截面转角为B。试计算当在B截面作用力偶矩M时，截面C的挠度。梁的弯曲刚度为EI。ABFCABCMPage例2：图示静不定梁，在B端处承受弯矩M作用，试利用功的互等定理计算B端的支反力。梁的弯曲刚度为EI。ABMABMFBABFPage思考题：图示任意形状的

4、线弹性体，求当其受一对共线力P作用时，该弹性体的体积改变量。H及材料弹性常数均已知。PPH均匀受力状态Page忽略剪力的影响刚架的应变能：例：求如下刚架A端的垂直位移Fhax根据功能原理：外力F做功：求出水平位移不能求出F’多个广义力做功时，也不能求出只有单个外力作用时，求其相应位移APage§13-3余能与卡氏第二定理余功与余能fdfd绿颜色微面积外力功余功红颜色微面积fFPage余能弹性体的余能弹性体余能也可通过微段或微体进行计算：线性弹性体：应变能=余能(数值)余

5、能密度Page克罗第—恩格塞定理与卡氏第二定理AB1Fn2F1F2Fkkn弹性梁受多个广义力Fk的作用，求各广义力的相应位移k。方法一：叠加法(线弹性)方法二：能量法弹性体总余能：外力总余功：Page给Fk增加一微量FkFnF1AB12F2Fkkn弹性体总余能：外力总余功的增量：Fk弹性体总余能增量：Crotti-Engesser定理Page对于线弹性体：（余能=应变能）卡氏第二定理卡氏第一定理：公式中k为广义力Fk的相应广义位移公式中的广义力Fk为相互独立的变

6、量PageAB1Fn2F1F2FkknFk卡氏第二定理的直接证明：Fi的作用下：先加上Fk，再加上Fi若给Fk一个增量Fk（略去高阶小量）Page卡氏第二定理证明思路：AB1Fn2F1F2FkknFk1、梁的总外力功2、给Fk一微增量Fk后的外力功增量3、改变加载次序(先加Fk，后)加Fi)的总应变能4、根据总外力功与加载次序无关Page讨论两个定理的适用范围：克罗第—恩格塞定理：卡氏第二定理：弹性结构线弹性结构对于非线性的弹性结构(物理非线性，几何非线性)，需

7、用克罗第——恩格塞定理。Page例：材料的应力—应变关系为：。压缩时，方程中的和均取绝对值。求A端的挠度。FlAxzyhb弹性体余能：不考虑剪力的影响：微体处于单向应力状态余能密度：Page梁任意横截面上一点的应力表达式：FlAx平面假设应力应变关系静力学方程Page卡氏第二定理的应用：例1：求A端的挠度，已知EI、l、P。PlxAPagePlA例2：求A端的转角,已知EI、l、P。PxM附加力法：先假设一附加力，对被积函数求导后，令附加力等于零M=0Page应用卡氏第二定理时的具体计算公

8、式：方法一：方法二：k为正，则说明k的方向与Fk的方向一致k为负，则说明k的方向与Fk的方向相反Page例3：EI为常数，求fA，AABCPaP解：为避免混淆，设Pa=MRBRCx2x1Page例4：图示刚架，EI为常数，1、求A点的水平与垂直位移；2、分析的意义。FFAaaF2AaaF11、求位移2、Page讨论的意义FFAB代表AB两点的相对位移若两个F反向，为两载荷对应的相对线位移的意义ABMM若两个M反向，为两载荷对应的相对角位移Page例5：各杆EA相同