工程数学模型及数值方法第二章

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1、第二章数值方法概论理学院2013年4月《工程数学模型及数值方法》优质课程数值方法又称为科学计算（ScientificComputing）或计算科学工程（ComputationalScienceandEngineering）现在把科学计算看做是和理论以及实验同等重要且必不可少的手段.数值方法数值计算方法是做什么用的？例如当n=20时，用Cramer法则解方程组，其运算次数（乘除法）需要9.7×1020，用每秒运算1亿次的计算机要用30多万年，而用Gauss消元法只需要乘除计算2660次，需要几秒钟而已.数值方法主要包括以下几个方面：可靠的理论分析：能任意逼近并达

2、到精度要求.对近似算法要保证其收敛性和数值稳定性，还要进行误差分析计算复杂性：它包括时间复杂性和空间复杂性.在同一精度下，计算时间少的为时间复杂性好，而占用内存空间小的为空间复杂性好数值试验数值方法收敛性：方法的可行性稳定性：初始数据等产生的误差对结果的影响便于编程实现：逻辑复杂度要小计算量要小：时间复杂度要小，运行时间要短存贮量要尽量小：空间复杂度要小可靠性分析计算复杂性误差估计：运算结果不能产生太大的偏差且能够控制误差数值方法的设计原则误差来源与分类：误差分析模型误差(ModelingError)从实际问题中抽象出数学模型观测误差(MeasurementE

3、rror)通过观测得到模型中某些参数（或物理量）的值方法误差(截断误差)(TruncationError)数学模型与数值算法之间的误差求近似解舍入误差(RoundoffError)由于机器字长有限，原始数据和计算过程会产生新的误差误差分析的基本概念设x为真值（精确值），x*为x的一个近似值，称e*=x*-x为近似值x*的绝对误差，简称误差。注：误差可正可负，常常是无限位的绝对误差限(accuracy)—绝对值的上界如：绝对误差还不能完全表示近似值的好坏绝对误差(absoluteerror)近似值x*的误差e*与准确值x的比值：称为近似值x*的相对误差，记

4、作注：实际计算时，相对误差通常取因为相对误差(relativeerror)误差分析的基本概念相对误差也可正可负相对误差限(relativeaccuracy)相对误差的绝对值的上界误差分析的基本概念有效数字(SignificantDigits)如：3位6位若近似值x*与准确值x的误差绝对值不超过某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n位，则称x*有n位有效数字误差分析的基本概念第一种定义方式有效数字(SignificantDigits)误差分析的基本概念第二种定义方式注：这种定义方式称为规格化形式用科学计数法，记,其中，,若（即的截取按四舍五入规则

5、），则称为有位有效数字，精确到。误差分析的基本概念例1：问：有几位有效数字？请证明你的结论。证明：有4位有效数字，精确到小数点后第3位。0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效数字。12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。数字末尾的0不可随意省去！注：若x*的每一位都是有效数字，则x*称是有效数特别的，经“四舍五入”得到的数均为有效数将的近似值表示为，若是有效数字，则相对误差不超过；反之，若已知相对误差，且有，则必为有效数字。误差分析的基本概念定理1：注:定理1说明了有效数字与相对误差限的关系.证明：一方面，是有效数字，则

6、且定理1：误差分析的基本概念另一方面，必为有效数字，即至少有位有效数字有效数字相对误差限已知x*有n位有效数字，则其相对误差限为误差分析的基本概念相对误差限有效数字已知x*的相对误差限可写为则可见x*至少有n位有效数字例2：为使的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？解：假设*取到n位有效数字，则其相对误差上限为要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足已知a1=3，则从以上不等式可解得n>6log6，即n6，应取*=3.14159。误差分析的基本概念例3：计算下列多项式的值为已知数据分析输入数据为，输出数据为，若直接由算出

7、，再乘相应的系数并相加，则要做次乘法和次加法，占用个存储单元。数值算法及稳定性数值算法及稳定性秦九韶法，也称为Horner法用递推公式表示为只用n次乘法和n次加法，并占用n+2个存储单元例3：大家一起猜？11/e解法之一：将作Taylor展开后再积分S4R4(Remainder)取则称为截断误差(TruncationError)

8、舍入误差(RoundoffError)

9、由截去部分(excludedterms)引起由留下部分(includedterms)引起=0.747……例4：近似计算一个算法如果输入数据有扰动（即误差），而计算过程中舍入误差不增长,则称此算法

10、是数值稳定的，否则此算法就称为不稳定的