常用数学模型及建模方法

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1、第三章常用数学模型及建模方法3.1量纲分析与轮廓模型一.量与量纲1.量及其度量10.模型所涉及的主要是量不是数20.量（物理量）可以分为：基本量：基础的，独立的量:长度、质量、时间、…导出量：由基本量通过自然规律导出的量:速度、加速度、力、…30.量的度量体系—单位制：基本量及其度量单位40.国际单位（SI）制基本量名称单位符号长度L米m质量M千克kg时间T秒s电流强度I安培A温度q开尔文K光强J坎德拉cd物质的量N摩尔mol导出量名称单位符号力牛顿N（kgms-2）能量焦耳J（kgm2s-2）功率瓦特W（kgm2s-3）频率赫兹Hz（s-1）压强帕斯卡Pa（kgm-1s-

2、2）2.量纲：10.量纲：一个物理量Q一般都可以表示为基本量乘幂之积。称这个乘幂之积的表达式[Q]=LaMbTgIhqdJxNz为该物理量对选定的这组基本量的量纲积或量纲表达式。abghdxz称为量纲指数。例.[长度]=L、[质量]=M、[时间]=T、[面积]=L2[体积]=L3、[速度]=LT-1,[加速度]=LT-2、[力]=MLT-2,[能量]=ML2T-2.注1.物理量的量纲只依赖于基本量的选择，独立于单位的确定。2.对于某个物理量Q,如果[Q]=LaMbTgIhqdJxNz，有a=b=g=h=d=x=z=0，则称之为无量纲量，记为[Q]=1。它将不依赖于选定的基本

3、量。3.无量纲量不一定是无单位的量。20.量纲齐次法则一个物理规律的数学表达式中每一个加项的量纲必须是一致的，或者都是无量纲量。例如,牛顿第二定律F=ma,[F]=MLT-2,[ma]=MLT-2满足量纲齐次法则的物理规律与这个规律所涉及的物理量的量纲单位的选择无关。二.量纲分析量纲分析是在物理领域中建立数学模型的方法，利用物理量的量纲提供的信息，根据量纲齐次法则确定物理量之间的关系。例1建模描述单摆运动的周期问题：质量为m的小球系在长度为l的线的一端,铅垂悬挂。小球稍稍偏离平衡位置后将在重力的作用下做往复的周期运动。分析小球摆动周期的规律。假设：1.平面运动，忽略地球自转

4、；2.忽略可能的磨擦力；3.忽略空气阻力；4.忽略摆线的质量和变形.分析建模10.列出有关的物理量运动周期t，摆线长l，摆球质量m，重力加速度g，振幅x.20.写出量纲:[t]=T，[l]=L，[m]=M，[g]=LT-2，[x]=1.30.写出规律:F(t,l,m,g,x)=0.40.写出规律中加项p的形式:p=ty1ly2my3gy4xy550.计算p的量纲:[p]=Ty1Ly2My3（LT-2）y4=Ty1-2y4Ly2+y4My360.应用量纲齐次原理:由[p]=1，可得关于yi（i＝1,2,…,5）的方程组y1–2y4=0y2+y4=0y3=0y5任意70.解方程

5、组:解空间的维数是二维。对自由变量（y4，y5）选取基底（1，0）和（0，1）。关于y1,y2,y3求解方程组可得基础解系{(2,-1,0,1,0)T,(0,0,0,0,1)T}80.求p:将方程的解代入加项p的表达式，可得p1=t2l-1g，p2=x.90.建模:单摆运动的规律应为f(p1,p2)=0，解出p1可得p1=k1(p2)，即有.100.检验：①周期与质量mm=390gm=237gl=276cm3.327s3.350sl=226cm3.058s3.044s②周期与振幅x(l=276cm,m=390g)x(度)8.3413.1818.1723.3128.7133.

6、9239.9946.62k(x)6.3466.3466.3546.3546.3886.3886.4716.524可见：当x<150时,k(x)»2p。k(x)与x有关。Buckinghamp定理:物理量的函数关系F(x1,¼,xk)=0是量纲齐次的,当且仅当它可以表示成形式f(p1,¼,pm)=0，其中，i=1,2,…,m

7、1/2当x0®p时，T(x0)®¥。三.量的比例关系与轮廓模型1.量的比例关系.因为模型表达了不同量纲的量之间的转换规律，又由量纲分析原理可知:不同量纲的量的乘幂之间一定存在比例关系。所以在同一模型中，若量x1和x2的量纲分别为[x1]=Xa和[x2]=Xb，则一定有x1=kx2a/b举例例1.正立方体：棱长l0=a，底面周长l1=4a，底面对角线长，对角线长；表面积S1=6a2，底面面积S2=a2，对角面面积；体积V1=a3，四棱锥体积V2=a3/3结论：在简单的几何体中，相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比