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1、《工程数学模型及数值方法》解答一、计算的数值稳定性1.对于一个采用迭代汁算的问题假设初值如果采用新的近似初值久=1.41进行计算，分析这种计算方法是否稳定？并说明如果按照新的初值计算到x2()12,产生的误差有多大？解:设以初值递推得到的近似计算值为设以初值&二1.41递推得到的近似汁算值为々，则'—元=lOCv,)=…=10"(%。一久)。从而得到递推计算的第"步的误差是初始误差的10"倍，，尽管初始误差
2、&-久
3、<0.510"2不大，但是随着n的增大，10"x0.5xl(T2就可以非常大。从而这种算法是一种不稳定的算法。如果按照新的初值计算到x2012,产生的误差为
4、：102°,2x0.5x10"2=O.5xlO20102.在实际计算中，人们除了分析算法是否稳定之外，还要求在计算中尽量避免误差危害，防止有效数字的损失.通过研究和实际计算，前人总结出了一些行之有效的基本的避免误差危害的原则，阐述有哪些基本原则？答：避免相近的数相减；避免量级相差太大的两数相除；避免大数和小数相加减；简化计算步骤。思考：1.对于一个采用迭代计算的问题+1假设初值=1.414…，如果采用新的近似初值=1.41进行计算，分析这种计算方法是否稳定？并说明如果按照新的初值计算到x2()ll,产生的误差有多大？HX"12.对于积分咨易导出计算公式/,,=—一51^
5、；若给出/0的一个近Jox+5n似值，则可以逐步递推计算山In(/?=1,2,--«)的近似依。分析这种计算方法的稳定性？(书30页例2.3.1)二、插值和曲线拟合问题假没~表示时间，％表示不同时间点的某支股票价格.现在连续观测了2012个时间点股票价格数据，下表仅仅给出了部分数据.1.02.03.04.0y.1.92.74.85.3为了分析股票价格随时间变化的趋势，可以考虑采用插值或者曲线拟合的方法来进行分析.1.利用上述已知数据做Lagrange插值，请写出插值函数的表达式；2.利用上述数据进行最小二乘曲线拟合，试求山曲线拟合的表达式；3.如果上述数据表中把2012个
6、时间点的数据全部给出，是否可以利用2012个数据进进行插值计算？简要说明原因；4.如果上述数据表中把2012个时间点的数据全部给出，是否可以利用2012个数据进行曲线拟合？简要说明原因：5.对于给定的数据做插值和进行曲线拟合，两种方法有什么差异？6.对于表中的实验数据，利用数值微分求函数在节点z=3.0处的一阶导数和二阶导数。(书89-93页)解1.取广0=1.0,r,=2.0,r2=3.0,z4—4.0,yQ=1.9,y,=2.7,y2=4.8,y4=5.3则Lagrange插值函数的表达式为：［⑴=女prf~fj(卜’⑽-’冰-,;)
7、v(z-z0)((z-z2)(z
8、-z3)A-0y=0h~lj°(’()一A)(('O—'2)(’O—G)*(’1—々)X('l—’2)(Z1—’3)(扩一(o)((,一A)(’一G,(’一^0)((’—,1)(广一么)~(,2-,0)((,2-,1)(,2-,3)(K))((,3-,1)(,3-6)1927=一一-(/-2.0)((r-3.0)(r-4.0)+—(r-1.0)((r一3.0)(r—4.0)62(r-1.0)((/-2.0)(卜4.0)+—a-1.0)((/-2.0)(卜3.0)262.在t-y坐标系内画出其散点图，这些点落在一直线附近，则选择线性函数作拟合曲线，即6’(f)=aQ,这里m
9、=3，n=1,(pQ(0=1,(p{(t)=to由于数据表中没有给山权重，3所以我们取呀=1，则(识o，奶))=［⑺，二4，/=033(仍”仍)=(仍，％)=Z郎I=10,K=30,/=0/=033==14.7,==42.9,z=0r=0于是有4“0+10tz,=14.710«o+30c/
10、=42.9，解得％=0.6,=1.23故所求拟合曲线为/a)=0.6+1.23，3.不能。因为对于任意的插值节点，当njoo时，插值多项式£,/x)不一定收敛到/(X)，即对于节点个数多的时候容易山现数值振荡(龙格现象)会发生；如果采用样条插值，计算量又太大2.可以。因为这些数据组成的
11、点在坐标系中可能落在一直线或曲线附近，所以可以选择合适的直线或曲线进行拟合。3.对于给定的数据做插值时，所求曲线;V=P(x)必须通过给定的n+1个点(^，％);但对于给定的数据进行曲线拟合时，所求曲线可以不通过给定的打+1个点(&，｝；),而只要求在给定点上的误差(也称力残差)按某种标准最小。4.用两点公式，取戋=3.0，戋=4.0，/?=1.0，贝ij/(3.0)«—[/(4.0)-/(3.0)]=0.51若取=3.0，/7=1.0，贝ij/’(3.0)«丄[/(3.0)-/(2.0)]=2.11用三点公式，取a=2.0,
