数值计算方法第二章.doc

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1、第二章　非线性方程数值解法在科学计算中常需要求解非线性方程(2.1)即求函数的零点．非线性方程求解没有通用的解析方法，常采用数值求解算法．数值解法的基本思想是从给定的一个或几个初始近似值出发，按某种规律产生一个收敛的迭代序列，使它逐步逼近于方程(2.1)的某个解．本章介绍非线性方程实根的数值求解算法：二分法、简单迭代法、Newton迭代法及其变形，并讨论它们的收敛性、收敛速度等．§2.1　二分法一、实根的隔离定义2.1　设非线性方程(2.1)中的是连续函数．如果有使，则称为方程(2.1)的根，或称为函数的零点；如果有，且在邻域内连续，，为正整数，则称为方程(2.1)的重根．当时，称

2、为方程的单根．非线性方程根的数值求解过程包含以下两步(1)用某种方法确定有根区间．称仅存在一个实根的有根区间为非线性方程的隔根区间，在有根区间或隔根区间上任意值为根的初始近似值；(2)选用某种数值方法逐步提高根的精度，使之满足给定的精度要求．对于第(1)步有时可以从问题的物理背景或其它信息判断出根的所在位置，特别是对于连续函数，也可以从两个端点函数值符号确定出有根区间．当函数连续时，区间搜索法是一种有效的确定较小有根区间的实用方法，其具体做法如下设是方程(2.1)的一个较大有根区间，选择合适的步长，，．由左向右逐个计算，如果有，则区间就是方程的一个较小的有根区间．一般情况下，只要步

3、长足够小，就能把方程的更小的有根区间分离出来；如果有根区间足够小，例如区间长度小于给定的精度要求，则区间内任意一点可视为方程(2.1)的根的一个近似．例2.1　确定出方程的一个有根区间．解　由知为上的单调递增函数，进而在内最多只有一个实根．经计算知，，所以在区间内有惟一实根．29如果希望将有根区间再缩小，可以取步长，在点，，计算出函数值的符号，最后可知区间内有一个实根．二、二分法二分法是求非线性方程实根近似值的最简单的方法．其基本思想是将有根区间分半，通过判别函数值的符号，逐步缩小有根区间，直到充分逼近方程的根，从而得到满足一定精度要求的根的近似值．设在区间上连续，，且方程(2.1

4、)在区间内有惟一实根．记，，中点将区间分为两个小区间和，计算函数值，根据如下3种情况确定新的有根区间：(1)如果，则是所要求的根；(2)如果，取新的有根区间；(3)如果，取新的有根区间．新有根区间的长度为原有根区间长度的一半．对有根区间施以同样的过程，即用中点将区间再分为两半，选取新的有根区间，并记为，其长度为的一半(如图2.1所示)．图2.1二分法示意图重复上述过程，建立如下嵌套的区间序列其中每个区间的长度都是前一个区间长度的一半，因此的长度为由和，得当时，显然，有．总结得到如下收敛定理：29定理2.1　设在隔根区间上连续，且，则由二分法产生的序列收敛于方程(2.1)在上的根，并

5、且有误差估计(2.2)设预先给定根的绝对误差限为，要求，只要成立，这样求得对分次数．(2.3)取为大于的最小整数．此时是方程(2.1)的满足精度要求的根近似值．注：由于舍入误差和截断误差存在，利用浮点运算不可能精确计算函数值，二分法中的判断几乎不可能满足，取而代之为判断条件，其中为根近似值的函数值允许误差限．总结以上内容，给出如下算法算法2.1(二分法)输入　端点、根的绝对误差限、根近似值的函数值允许误差限；输出　近似解或失败信息；Step1　用公式(2.3)计算最大迭代次数；Step2　对循环执行Step3～5；Step3　，计算；Step4　若，则输出，end；Step5　若，

6、则，否则．例2.2　用二分法求在上的根的近似值，要求．解　由于在区间上，，，，故在上有惟一实根．确定循环次数为，利用二分法计算结果见表2.1．表2.1　二分法计算结果有根区间123456[1.0,2.0][1.0,1.5][1.25,1.5][1.25,1.375][1.3125,1.375][1.343725,1.375]1.51.251.3751.31251.343751.3593752.375–1.7968950.1621094–0.8483887–0.3509827–0.0964088297891011[1.359375,1.375][1.359375,1.3671875]

7、[1.3632813,1.3671875][1.3632813,1.3652344][1.36425785,1.3652344]1.36718751.36328131.36523441.364257851.3647461250.0323558–0.03215000.0000720–0.0160460–0.0079887二分法具有如下特点(1)优点：计算简单，对函数的光滑性要求不高，只要它连续，且在两端的函数值异号，算法收敛就可以保证；(2)缺点：只能求单实根和奇数重实