数值计算方法.doc

《数值计算方法.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1.题目造倒数表，并例求18的倒数。（精度为0.0005)2.算法原理2.1牛顿迭代法牛顿迭代法是通过非线性方程线性化得到迭代序列的一种方法。对于非线性方程fx()=0，若已知根x*的一个近似值xk，将f(x)在xk处展成一阶泰勒公式后忽略高次项可得：f(x)≈fx(k)+f'(xk)(x−xk)右端是直线方程，用这个直线方程来近似非线性方程f(x)。将非线性方程fx()=0的根x*代入fx(*)=0，即fx(*k)+f'(xk)(x−xk)≈0*xk−f(xk)解出x≈f'(xk)将右端取为x*k+1，则xk+1是比xk更接近于x的近似值，

2、即f(xk)xk+1≈xk−f'(xk)这就是牛顿迭代公式，相应的迭代函数是f(x)ϕ(x)=x−f'(x)2.2牛顿迭代法的应用11计算是求cx−=10的解，解出x，即得到。取cc有牛顿迭代公式cxk−11xk+1=xk−=cc这样就失去了迭代的意义，达不到迭代的效果。1f(x)=cx−1，f'(x)=c，故重新构造方程：cx2−x=0，也是该式的解。故取f(x)=cx2−x，cf'(x)=2cx−1，则有牛顿迭代公式x2k+1=xk−cxk−xk=cxk2,k=0,1,...2cxk−12ck−111的值在~之间，取初值x0=0.1。20

3、1013.流程图读入x0,ε,N1⇒kf′(x0)=?0=≠f(x0)x0−⇒x1f′(x0)x1−x0<ε?<≥k+1⇒k≠x1⇒x0输出x1=24.输出结果5.结果分析当k=3时，得5位有效数字0.05564。此时，x3−x4=0.00000<0.0005，故取x*=x3=0.05564≈0.056。此种迭代格式仍存在一定的缺陷，经实验后发现当初值x*0>x时必收敛，但ς是当x*00)时迭代结果发散，较小尚不确定。6.心得体会起初对题目的理解并不是很透彻，另外对构建牛顿迭代公式理论依据不是特别充分，比如说为什么在原有直接得到

4、的式子两边各乘一个x，只是试出来的。在编程方面不够成熟。当然也加深了对牛顿迭代法的理解和应用的具体实现。实验二例3-41.题目用列主元消去法求解方程组⎧12x1−3x2+3x3=15⎫⎪⎪⎨−18x1−3x2−x3=−15⎬⎪⎩x1+x2+x3=6⎭⎪并求出系数矩阵A的行列式的值detA。32.算法原理2.1顺序高斯消去法顺序高斯消去法是利用线性方程组初等变换中的一种变换，即用一个不为零的数乘一个方程后加至另一个方程，使方程组变成同解的上三角方程组，然后再自下而上对上三角方程组求解。这样，顺序高斯消去法可分成“消去”和“回代”两个过程。在用顺

5、序高斯消去法时，在消元之前检查方程组的系数矩阵的顺序主子式，当阶数较高时是很难做到的。若线性方程组的系数具有某种性质时，如常遇到的对角占优方程组，自然能够用高斯消去法求解。2.2列选主元消去法线性方程组只要系数矩阵非奇异，就存在惟一解，但是按顺序消元过程中可能出现主元素a()kkk=0，这时尽管系数矩阵非奇异，消元过程无法再进行，或者即使a()k≠0，但如果其绝对值很小，用它作除数也会导致其他元素的数量级急剧kk增大和使舍入误差扩大，将严重影响计算的精度。为避免在校园过程确定乘数时的所用除数是零或绝对值小的数，即零主元或小主元，在每一次消元之

6、前，要增加一个选主元的过程，将绝对值大的元素交换到主对角线的位置上来。列选主元是当高斯消元到第k步时，从k列的akk以下（包括akk）的各元素中选出绝对值大的，然后通过行交换将其交换到akk的位置上。交换系数矩阵中的两行（包括常数项），只相当于两个方程的位置交换了，因此，列选主元不影响求解的结果。列选主元消去法常用来求行列式。设有矩阵⎛a11La1n⎞A=⎜⎜MM⎟⎟⎜⎝an1Lann⎟⎠用列主元消去法将其化为上三角形矩阵，对角线上元素为a(1)(2)(3)11,a22,L,a33,于是行列式detA=−(1)maa11(1)22(2)Lan

7、n()n其中m为所进行的行交换次数。这是实际中求行列式值的可靠方法。43.流程图54.输出结果5.结果分析采用计算机运算在计算大数据时有明显的优点，另外也需要考虑到存储。高斯消去法的使用条件是a()kkk≠0,k=1,2,L,n，而列选主元法可以保证这一条件。并且可以避免在消元过程确定乘数时所用除数是绝对值小的数，相对全选主元的运算量小，一般也可以满足精度要求。6.心得体会此次上机不仅需要对原理了解透彻，而且要求的编程能力较强。在定义和思路上没问题，只是在编程软件的使用上遇到些不稳定的问题，如头文件的使用。在存储空间上得到了新的认识，另外发现

8、了当代码多时流程框图的好处。编程是一件很需要耐心的事，自己还有很大进步空间。实验三例3-101.题目用杜里特尔分解法求矩阵A的逆矩阵A−1。⎛11−1⎞⎜A=⎜12