工程力学静力学2北京钢院

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1、工程力学第二章平面汇交力系本章将研究最简单的情况——平面汇交力系的合成和平衡问题。它是研究平面一般力系的基础。本章重点：1、平面汇交力系的概念2、平面汇交力系的合成（几何法、解析法）3、平面汇交力系平衡条件（几何条件、平衡方程）§2-1工程中的平面汇交力系问题所谓平面汇交力系，就是各力的作用线都在同一平面内，且汇交于一点的力系。§2-2平面汇交力系合成的几何法设刚体上作用有汇交于同一点O的三个力F1，F2和F3，如图a所示。现求其合力。连续运用三角形法则，可将这些力顺次两两合成作图时中间矢量AC不必画出，只要把各力矢量首尾相接，画出一个开口多边形ABCD，最后将第一个力F1的始端

2、A与最末一个力F3的终端D相连，所得的矢量AD就代表该力系合力FR的大小和方向，如图b所示。这个多边形ABCD叫力多边形，代表合力的矢量AD边叫力多边形的封闭边。这种以力多边形求合力的作图规则，称为力多边形法则。这种方法称为几何法。力多边形法可以推广到由任意个力F1、F2、…Fn组成的共点力系。综上所述：平面汇交力系合成的结果是一个合力，其大小和方向由力多边形的封闭边来表示，其作用线通过各力的汇交点。即合力等于各分力的矢量和(或几何和)。可用矢量式表示为：用几何法作力多边形时，应当注意以下几点：①要选择恰当的长度比例尺和力的比例尺。按长度比例尺画出轮廓图，按力的比例尺画出各力的大

3、小，并准确地画出各力的方向。只有这样，才能从图上准确地表示出合力的大小和方向。②作力多边形时，可以任意变换力的次序，虽然得到形状不同的力多边形，但合成的结果并不改变。③力多边形中诸力应首尾相连。合力的方向则是从第一个力的起点指向最后一个力的终点。§2-3平面汇交力系平衡的几何条件所谓力系的平衡条件就是指刚体在某力系作用下维持平衡状态时，该力系各力应满足的条件。前面已指出，汇交力系可以合成一个合力。因此，物体在平面汇交力系作用下平衡的必要与充分条件是合力FR等于零。即在几何法中，平面汇交力系的合力FR是由力多边形的封闭边来表示的。当合力FR等于零时，力多边形的封闭边变为一点，即力多

4、边形中第一个力的起点与最后一个力的终点重合，构成了一个自行封闭的力多边形。所以平面汇交力系平衡的几何条件是：力多边形封闭。例2-1图a中钢梁的重量G=6kN，θ=30°，试求平衡时钢丝绳的约束反力。选择力比例尺μF=0.1kN/mm,作力多边形,如图b所示。按比例尺量得fh和he的长度为：fh=34.5mm，he=34.5mmFAT=34.5mm×0.1kN／mm=3.45kN，FBT=34.5mm×0.1kN／mm=3.45kN(4)分析讨论从力三角形可以看到，在重力P不变的情况下，角θ越大，钢丝绳拉力也随之增大。因此，起吊重物时应将钢丝绳放长一些，使夹角2θ较小些，这样钢丝绳

5、才不易被拉断。解：(1)根据题意，选钢梁为研究对象。(2)画受力图钢梁受重力P和钢丝绳约束反力FAT和FBT的作用，三力汇交手D点，这是一个平面汇交力系。受力图如图a所示。(3)用几何法求反力作力多边形，求未知量。例2-2简易绞车如图a所示，A、B和C为铰链连接，钢丝绳绕过滑轮A将P=20kN的重物吊起。不计摩擦及杆件AB、AC的质量。试计算两杆AB、AC所受的力。解：(1)选滑轮A(含轮上一段绳子)为研究对象(图b)(2)画受力图(3)用几何法作力多边形，求未知量选力比例尺μF=1kN/mm，做力多边形，按比例尺量得：FAB=cd=9.3kNFAC=da=35.9kN可见杆AB

6、受拉力，杆AC受压力杆AB和AC所受的力分别与力FAB和FAC等值反向。例2-3刚架如图a所示，在B点受一水平力作用。设F=20kN，刚架的质量略去不计。求A、D处的约束反力。解：(1)根据题意，选刚架为研究对象，选择长度比例尺μl=0.2m/mm，画出刚架的轮廓图形。(2)画受力图(3)用几何法作力多边形，求未知量,选择力比例尺μF=0.5kN/mm，量得：FA=22.4kN，FD=10kN两反力的指向由力三角形闭合的条件确定或根据三角形关系计算得到：§2-4平面汇交力系合成的解析法求解平面汇交力系问题，除了应用前面所述的几何法以外，经常应用的是解析法。解析法是以力在坐标轴上的

7、投影为基础的。为此，先介绍力在坐标轴上投影的概念。1、力在坐标轴上的投影设力F=AB在Oxy平面内。从力F的起点A和终点B作Ox轴的垂线Aa和Bb，则线段ab称为力F在x轴上的投影，用Fx表示。同理，从力F的起点A和终点B可作Oy轴的垂线Aa`和Bb`，则a`b`称为力F在y轴上的投影。用Fy表示。设α和β表示力F与x轴和y轴正向间的夹角，则由图可知：如已知Fx和Fy，即可求出力F的大小和方向余弦为：力的投影是代数量。为了便于计算，通常采用力F与坐标轴所夹的锐角计算余弦，并且规定