弹性力学、泛函、变分等基本知识

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1、2021/7/14有限元法预备知识12有限元法预备知识曹国华2.1弹性力学基本知识2.2泛函基本知识2.3变分法基本知识2.4李兹法运用2021/7/14有限元法预备知识22.1弹性力学基本知识位移和应变和应力和基本力学量：2021/7/14有限元法预备知识3[外力]作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种：面力，是分布于物体表面的力如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号来表示。体力，是分布于物体体积内的外力如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。弹性体受外力以后

2、，其内部将产生应力。2.1弹性力学基本知识2021/7/14有限元法预备知识4[应力的概念]弹性体内微小的平行六面体PABC，称为体素。PA=dx,PB=dy,PC=dz正应力剪应力每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行2.1弹性力学基本知识2021/7/14有限元法预备知识5为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力σx是作用在垂直于x轴的面上同时也沿着x轴方向作用的。正应力加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如，剪应力τxy是作用在垂直于x轴的面上而沿着y轴

3、方向作用的。剪应力[应力的概念]2.1弹性力学基本知识2021/7/14有限元法预备知识6应力的正负如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向为负。剪应力互等定律作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。即：[应力的概念]2.1弹性力学基本知识2021/7/14有限元法预备知识7可以证明：如果这六个量在P点是已知的，就可以求得经

4、过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x、y、z的函数。六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵来表示：[应力的概念]2.1弹性力学基本知识2021/7/14有限元法预备知识8[位移]弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述：1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负

5、方向为负这三个投影称为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不是定值，而是坐标的函数。2.1弹性力学基本知识2021/7/14有限元法预备知识9[应变]体素的变形(应变)可以分为两类：一类是长度的变化，一类是角度的变化。任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变(或称正应变)，用符号来表示。沿坐标轴的线应变，则加上相应的角码，分别用来表示。当线素伸长时，其线应变为正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号规定相对应。任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称为角应变或剪应变，用符号来表示。两坐标轴之间的角应变则加上相应的角码分别用来

6、表示。规定当夹角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应。(正的引起正的，等等)。2.1弹性力学基本知识2021/7/14有限元法预备知识10其中：X、Y、Z为三个方向的均匀分布体力[弹性力学基本方程][平衡方程（外力与应力的关系）]2.1弹性力学基本知识如何得到的？2021/7/14有限元法预备知识11以平面问题推导平衡微分方程取出一块dxdy,厚度为一个单位长度的微元体，将其所受力画在其上。设单位体积上的体积力为由，得由，得由力矩平衡方程，得[弹性力学基本方程]2.1弹性力学基本知识2021/7/14有限元法预备知识12[几何方程、刚体位移]A点在x方向的

7、位移分量为u；B点在x方向的位移分量为：ABCD—A’B’C’D’(应变分量和应变分量的关系)求线素AB、AD的正应变，用位移分量来表示：线素AB的正应变为：同理，AD的正应变为：2.1弹性力学基本知识vudxdyABCDdxxuu¶¶+dxxvv¶¶+dyyuu¶¶+dyyvv¶¶+'A'B'C'D"D"Bbaxyo2021/7/14有限元法预备知识13线素AB的转角为：x向线素AB的转角；y向线素AD的转角求剪应变，也就是线素AB与AD之间的直角的改变A点在y方向的位移分量为v；B点在y方向的位移分量为：[几何方程、刚体位移]2.1弹