力学中的泛函分析和变分原理第一讲

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1、研究生课程力学中的泛函分析与变分原理第一讲：线性赋范空间授课教师：郭旭教授大连理工大学工程力学系课程简介课程概括：带上‚3D眼镜‛看高等数学和力学基本原理参考教材：《应用泛函分析》，柳重堪，国防工业出版社授课教师：郭旭教授，综合实验一号楼515研究方向：结构优化、计算力学、纳米力学、细观力学等教学资源：超星学术视频力学《力学中的泛函分析与变分原理》时间地点：3-10周，周二56节研教楼303，周四78节研教楼303课程章节第一章：线性赋范空间第二章：希尔伯特空间第三章：有界线性算子第四章：有界线性泛函与共轭空间第五章：泛函的极值第六章：力学中的变分原理课程章节第

2、一章：线性赋范空间第二章：希尔伯特空间第三章：有界线性算子第四章：有界线性泛函与共轭空间第五章：泛函的极值第六章：力学中的变分原理1§1.1线性空间线性空间的定义：设?为非空集合，如果(1)对于?中任意两个元素?和?,均对应?中的一个元素，称为?与?的和，记作?+?;(2)对于?中任一元素?和任一实数?,均对应于?中一个元素，称为?与?的数乘，记为??;(3)上述两种运算满足下列运算规律（?,?,?为?中任意元素，?和?为任意实数）a)?+?=?+?b)?+?+?=?+?+?c)?中存在唯一的‘零元素’?，满足?+?=?,∀?∈?;且∀?∈?,存在唯一的‘负元素’−

3、?∈?,满足?+−?=?d)???=???e)1⋅?=?,0⋅?=?f)??+?=??+??g)?+??=??+??称?是线性空间，线性空间中的元素也可称为点。2§1.1线性空间空间的基及维数设?1,?2,…,???≥1是线性空间?中?个元素,如果存在不全为零的常数?1,?2,…,??使得?1?1+?2?2+⋯+????=?,则称?1,?2,…??是线性相关的。反之，当且仅当?1=?2=⋯=??=0使得等式成立，则称?1,?2,…??是线性无关的。如果线性空间?中存在?个线性无关的元素?1,?2,…,??使得?中任一元素?均?可以表示成?=?=1????,则称?

4、1,?2,…,??为空间?的一组基底，也称?是由?1,?2,…,??所构成的空间。?称为空间的维数，记为dim?=?.而?称为有限维（?维）线性空间。空间ℝ,?,ℙ都是有限维空间，而??,?与???,?则是无穷维的。????3§1.1线性空间线性空间的同构设?和?是两个线性空间,如果?和?之间存在一一对应关系?,(对任意元素?∈?,均有唯一的元素?∈?与之对应，记为?=??;反之，对于任意?∈?，均有唯一的?∈?,满足??=?),使得对任意的?,?∈?,及任意实数?,均有等式??+?=??+?????=???则称空间?和?是线性同构的，简称同构，而?称为同构映射。

5、4§1.1线性空间子空间设?是线性空间?的子集，如果对于任意?,?∈?及任意实数?,?,均有??+??∈?,则称?是?的一个子空间。子空间本身也是一个线性空间，且必包含零元素。设?是线性空间，?1和?2是?中的两个子空间,如果?中任意元素均可唯一的表示为?=?1+?2,其中?1∈?1,?2∈?2,则称?是?1和?2的‚直和‛，记作：?=?1⊕?2.且?1和?2称为互补子空间。线性空间?1和?2的和是‚直和‛的充分必要条件是?1∩?2=?,这时任意的?1∈?1,?2∈?2都是线性无关的。5§1.1线性空间线性流形设?是线性空间?的子空间，?0∈??,则集合?

6、0+?=?0+?;?∈?称为?的一个流形。线性流形的维数是指它所对应的子空间?的维数。?维流形是指这空间中的一个点集，其中点的坐标能用?个任意参数表示：??=???1,?2,…,??,?=1,2,…,?流形是曲线和曲面概念的推广。设?元线性代数方程组??×???×1=??×1有解，其系数矩阵的秩为?,则其解的全体是ℝ?中的一个?−?维线性流形。对与非其次常微分方程也有类似的结论：??+????−1+⋯+???=??解的全体构成了线性空间??,?的1?一个线性流形。（其中???,??∈??,?）6§1.1线性空间线性空间中的凸集设?是线性空间?的一个集合，如果对

7、任意?,?∈?及?+?=1,?≥0,?≥0,均有：??+??∈?1.1.1则称?是?中的凸集。(1.1.1)可改为??+1−??∈?,?∈0,11.1.1若?=ℝ2,则当?取遍0,1中的数值时，??+1−??表示连接?,?这两点的直线段。因此从直观上看ℝ2中的凸集就是通常的凸几何模型。7研究生课程谢谢大家！欢迎提问！§1.2距离空间距离空间设?为非空集合，若对于?中的任意两个元素?,?,均有一个实数与之对应，此实数记为?(?,?)，它满足：(1)非负性：??,?≥0;且?(?,?)=0的充要条件是?=?(2)对称性：?(?,?)=??,?(3)三角不等式：?