力学中的泛函分析和变分原理第十讲new

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1、研究生课程力学中的泛函分析与变分原理第十讲：有界线性泛函与共轭空间授课教师：郭旭教授大连理工大学工程力学系课程回顾共轭算子设?和?为线性赋范空间，?∈??,?,给定?∗∈?∗(?∗为定义在?上的所有有界线性泛函的空间??,ℝ,即?的共轭空间),则有表达式：??,?∗,∀?∈?,??=?∈?,是?上的泛函，即??=??,?∗=?,?∗?∗算子?∗是定义在?∗上的，且?∗∈??∗,?∗.算子?∗称为?的共轭算子。Hilbert空间中的共轭算子由于ℍ∗=ℍ,故对于由ℍ到ℍ的有界线性算子?,其共轭算子?∗由下式确定：??,?=?,?∗?如果?=?∗,则称?是自共轭算子。正交(元素与算子)、

2、正交补若?,ℱ=0,则称元素?∈?与ℱ∈?∗是正交的。设?是?的子集，则与?中每一个元素均正交的有界线性泛函的全体，记为?⊥,称为?的正交补，有?⊥=ℱ∈?∗;?,ℱ=0,?∈?课程回顾一阶变分设?为线性赋范空间，?0∈?.ℱ?是在?0及其邻域内有定义的泛函，对任ℱ?0+??−ℱ?0意?∈?,若极限lim存在，记为?ℱ?0;?,则称为泛函ℱ在?0处?→0?关于增量?的一阶变分。若令??=ℱ?0+??,为普通的一元函数，显然′??−?0?0=lim=?ℱ?0;?,也可写作?→0???ℱ?0;?=ℱ?0+??5.1.1???=0若(5.1.1)中?ℱ?;?是关于?的有界线性泛函，记为

3、ℱ′?,有：?ℱ?;?=000?,ℱ′?,则称泛函ℱ在?处是加托可微的。00表达式?ℱ?;?=?,ℱ′?=ℱ′??,称为泛函ℱ在?处关于增量?的加0000托微分。有界线性泛函ℱ′?称为泛函ℱ在?处的加托导数。00课程回顾一阶变分算例1?设??∈??,?,有泛函??=???,??,???.其中??,?,?为连续函?数，具有一阶连续偏导数，则对任意ℎ∈?1?,?,有一阶变分?????+?ℎ?,??+?ℎ?,???−???,??,????????,ℎ=lim?→0??=?′??,??,?ℎ?+?′??,??,?ℎ???????????′=?′ℎ??+?′ℎ−?ℎ?????????????

4、=?′−?′ℎ??+?′ℎ???????§5.2泛函的极值泛函极值的必要条件设?是Banach空间，泛函ℱ在点?0∈?的邻域?内有定义，如果存在?0的一个邻域?1⊂?,使得对所有的?∈?1均有ℱ?0≤ℱ?,则称?0为ℱ的局部极小点，ℱ?0称为ℱ的局部最小值。定理：设泛函ℱ在?0达到极值，且在?0处对于任意ℎ,均存在一阶变分?ℱ?0,ℎ,则?ℱ?0,ℎ=0.变分法基本引理若对于任意??,均有??????=0Ω则有??≡0,∀?inΩ.1§5.2泛函的极值Euler-Lagrange方程2?求函数??∈??,?,使泛函??=???,??,???达到极值。其中?关?于??,??,?具有

5、二阶连续偏导数，函数的端点值有??=?,??=?.?是定义在空间?2?,?的子集??=??∈?2?,?;??=?,??=?的泛函。由以前推导可知极值点??应满足????′−?′ℎ??+?′ℎ=0????????′?′为使??+ℎ?∈??,应该令ℎ?=ℎ?=0.故有???−????ℎ??=0,∀ℎ∈ℎ∈?2?,?;ℎ?=ℎ?=0.由ℎ的任意性，可得??′?,?,?−?′?,?,?=0??????=?,??=?即为极值点??所满足的方程，即Euler-Lagrange方程。若待求函数在端点是未知的，将有自然边界条件′′???,?,?=???,?,?=0?=??=?2§5.3具有等式约束的

6、极值增广Lagrange泛函定理：如果?0是泛函ℱ在约束条件???=0,?=1,2,…,?下的极值点，则存在?个常数?1,?2,…,??,使泛函?ℒ?,?=ℱ?+??????=1以?0为驻点，即?ℱ′?+??′?=00??0?=13研究生课程谢谢大家！欢迎提问！