力学中的泛函分析和变分原理第十二讲

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1、研究生课程力学中的泛函分析与变分原理第十二讲：力学中的变分原理授课教师：郭旭教授大连理工大学工程力学系课程回顾单位体积应变能及应变余能???应变能密度：????=0?????????????应变余能密度：?????=0??????????最小势能原理总势能：Π?=????−?⋅???−?⋅???????1??其中，???=??,?+??,?,???=,in?;??=??,on??.2????最小势能原理：在所有变形可能的位移场中，真实的位移场使总势能泛函取最小值。也即：???Π=??????−???????−???????=0?????

2、???课程回顾最小势能原理驻值条件??1??????=??????,?+???,???=??????,?????????2?=????????−???,??????=??????????−???,??????,?????=??????????−???,?????????=0,on??????Π=−???,?+???????−??−??????????????=?,?,?⊤是表面单位外法线向量，∀??∈?∈??;?=?,on?123??由???的任意性和变分学基本引理，有???,?+??=0,in???=?????,on??§6.1最小势能原理及

3、弹性力学方程的近似解法近似解法—Ritz法使一泛函取极值的函数，满足Euler方程，或者说，Euler方程的解使泛函取驻值。如果找到一个函数使泛函近似的取驻值，则这个函数就是Euler方程的近似解。构造出一组完全的基函数系?1,?2,…,??,这组函数定义在积分域上，则所有可取函数是这些基函数的线性组合。??=?1?1+?2?2+⋯+????6.1.8并且有??Π??=Π?1,?2,…,??=0,?=1,2,…,?6.1.9??????由(6.1.9)式可确定常数??,可得?的近似解??.应用总势能取极值求弹性力学方程近似解的方法称为R

4、itz法。近似解法—有限元法“有限元法=Ritz法+分片插值基函数”。1§6.1最小势能原理及弹性力学方程的近似解法近似解法—Galerkin法(虚功原理)-(1)上面介绍的Ritz法或有限元法是建立在总势能泛函的基础上，有时不存在与微分方程相对应的泛函，这时求解微分方程的近似解，要借助于微分方程的弱形式。???,?+??=0,in?对于弹性力学问题的基本方程(a),其弱形式??=?????,on??????,?+??????+????−?????????=0,??∈??∈??;??=0,on??.(b)考虑令：?=???,?+??,ℱ

5、∈?∗,0??−?????ℱ?0=????,?+??????+????−?????????,∀??∈??∈??;??=0,on??由之前的定理可知，若对于一切ℱ∈?∗,均有ℱ?=0,即弱形式(b)，则有0?0=0成立，即对应的基本方程(a)成立！借助方程(b)求解微分方程(a)，就是Galerkin法，本方法从微分方程出发，与微分方程借助什么本构关系得来的无关，所以Galerkin法更具一般性。2§6.1最小势能原理及弹性力学方程的近似解法近似解法—Galerkin法(虚功原理)-(2)Ritz法的可取函数是?0类，即函数本身连续即可，但直

6、接用(b)式，则需?1类函数，因?中包含位移的二阶导数。为使本方法也用?0类函数，可用分部??,?积分，在(b)式中：???,?????−?????????=???,?????−?????????=−?????,?????????1=−?????,?+??,???=−????????2??代入(b)式，有??????+??????=????????6.1.10????(6.1.10)即为虚功原理：内力虚功等于外力虚功。虚功原理与平衡方程和力的边界条件等价，与本构关系无关。3§6.1最小势能原理及弹性力学方程的近似解法近似解法—Galerkin

7、法(虚功原理)-(3)用方程(6.1.10)式，试探函数用分片线性函数，可得有限元方程，这与Ritz法相同。具体如下：令：?=??,?=??;?=??,?=??;?=??,则有⊤⊤⊤?????????=?????=???????????=?⊤???=?⊤⊤???;????=?⊤???=?⊤⊤???????????????????代入(6.1.10)，有?⊤−?⊤?????+?⊤???+?⊤???=0????由?的任意性，可知上式对任意?是成立的，于是有??=?⊤⊤⊤其中，?=?????,?=????+????.????4§6.2最小余能

8、原理最小(总)余能原理-(1)总余能：Π??=???????−????????????其中???为静力平衡的应力场，满足???,?+??=0,inΩ