力学中的泛函分析和变分原理第十一讲new

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1、研究生课程力学中的泛函分析与变分原理第十一讲：力学中的变分原理授课教师：郭旭教授大连理工大学工程力学系课程回顾泛函极值的必要条件设?是Banach空间，泛函ℱ在点?0∈?的邻域?内有定义，如果存在?0的一个邻域?1⊂?,使得对所有的?∈?1均有ℱ?0≤ℱ?,则称?0为ℱ的局部极小点，ℱ?0称为ℱ的局部最小值。定理：设泛函ℱ在?0达到极值，且在?0处对于任意?,均存在一阶变分?ℱ?0,?,则?ℱ?0,?=0.变分法基本引理若对于任意??,均有??????=0Ω则有??≡0,∀?inΩ.课程回顾Euler-Lagrange方程2?

2、求函数??∈??,?,使泛函??=???,??,???达到极值。其中?关?于??,??,?具有二阶连续偏导数，函数的端点值有??=?,??=?.?是定义在空间?2?,?的子集??=??∈?2?,?;??=?,??=?的泛函。由以前推导可知极值点??应满足????′−?′???+?′?=0????????′?′为使??+??∈??,应该令??=??=0.故有???−???????=0,∀?∈?∈?2?,?;??=??=0.由?的任意性，可得??′?,?,?−?′?,?,?=0??????=?,??=?即为极值点??所满足的方程，即

3、Euler-Lagrange方程。若待求函数在端点是未知的，将有自然边界条件′′???,?,?=???,?,?=0?=??=?课程回顾增广Lagrange泛函定理：如果?0是泛函ℱ在约束条件???=0,?=1,2,…,?下的极值点，则存在?个常数?1,?2,…,??,使泛函?ℒ?,?=ℱ?+??????=1以?0为驻点，即?ℱ′?+??′?=00??0?=1课程章节第一章：线性赋范空间第二章：希尔伯特空间第三章：有界线性算子第四章：有界线性泛函与共轭空间第五章：泛函的极值第六章：力学中的变分原理§6.1最小势能原理及弹性力学方程

4、的近似解法单位体积应变能及应变余能应变能密度：???????=??????????,6.1.10应变余能密度：????????=??????????,6.1.20???????=????+??????:????=???????????:???????=????????1§6.1最小势能原理及弹性力学方程的近似解法对于平面问题1?0?10?22?2ℂ=1−?21−?,??=21−?2?1+?2+2??1?2+2?12sym.21−?0111?=10,??=?2+?2−2???+?2?121212?2?2?sym.21+?−1=?.

5、ℂ,?分别为刚度矩阵和柔度矩阵，有ℂ2§6.1最小势能原理及弹性力学方程的近似解法最小势能原理-(1)总势能Π?=????−?⋅???−?⋅???,????1??其中，???=??,?+??,?,???=,in?;??=??,on??.2????计算一阶变分???Π=Π?+??−Π?=??????−???????−???????????????使Π取极值的?使得?Π=0,令???Π=??????−???????−???????=06.1.3????????3§6.1最小势能原理及弹性力学方程的近似解法最小势能原理-(2)第一

6、项??11??????=??????,?+???,???=??????,?+??????,?????????2?2=??????,???=????????−???,??????=??????????−???,??????,,??????而，??=??,on??.故有，???=0,on??,????????=??????????−???,??????6.1.4????????将以上化简结果代入(6.1.3)有?Π=−???,?+???????−??−??????????6.1.5????=?,?,?⊤是表面单位外法线向量，∀??∈?

7、∈??;?=0,on?123????表示在?上分片连续可微函数的集合4§6.1最小势能原理及弹性力学方程的近似解法最小势能原理-(3)因此有方程???,?+??=0,in?6.1.6??=?????,on??控制方程(6.1.6)的弱形式为???,?+???????+??−??????????=06.1.7???∀???∈?∈??;?=0,on??可见，位移场??使总势能泛函取驻值，相当于该位移场对应的应力场满足域内平衡方程和力边界条件。特别的，若总势能泛函是位移场的凸泛函，驻值即是最值。最小势能原理：在所有变形可能的位移场

8、中，真实的位移场使总势能泛函取最小值。5研究生课程谢谢大家！欢迎提问！