实变与泛函试题.docx

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1、实变部分一、填空题1.设An1,21,n1,2,3L,则limAn=nnn2.设ERn，若EE(E表示E的导集)，则称E为3.设P为康托集，则P，mP=4.设f(x)是R上的实函数，若AxRf(x)0,AnxRf(x)1，n则A可用An表示为5.设E为Rn中的点集，若对任意点集T都有，则称E为勒贝格可测集6.若mEfn(x)f(x)0，则称fn(x)在E上7.设fn(x)为E上几乎处处有限的可测函数列，f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，若对0有，则称fn(x)在E上依测度收敛于f(x)8.设fn(x)在E上依测度收敛于f(x)，则存在fn(

2、x)的子列fnk(x)使得9.Fatou引理叙述为：设ERp为可测集，fn(x)为E上一列非负可测函数列，则10.设A和B分别是Rp和Rq中的可测集，则AB是Rpq的可测集，且m(AB)二、判断题1、f(x)可表成一列简单函数的极限函数是f(x)可测的充分非必要条件2、若mE=0，则E为可数集3、任意多个开集之交仍未开集、设f(x)勒贝格可积于可测集，若f(x)，xE,则Ef()04E>0xdx5、几乎处处收敛的函数列必定依测度收敛三、计算题1、设E为0,1上的全部有理点，求&和EE在R内的E,E2,xRxQ,则f(x)在0,1上是否勒贝格可积

3、，若可积，求出其2、设f(x)0,xQ积分值3、设()为E上的可积函数列，且limfn(x)f(x)a.e于，又fnxEnEfn(x)dxkk为常数，则f(x)勒贝格可积泛函部分一、判断题1、l是可分的度量空间2、任何度量空间都可以完备化3、Ca,b是第一纲的4、设x是赋范线性空间，则xnx0称为弱收敛5、有限维赋范线性空间上任何两个范数等价二、计算证明1、设x1,2R2，当P=1,2,4，计算xp、设x,d是度量空间，证明：xnx，都有2dx1,xnd(x1,x2)d(x2,x3)Ldxn1,xn3、证明度量空间（x,d）中柯西点列xn是有界

4、点列4、设n是实内积空间X中的点列，若nx(n)，且对一切yXxx有xn,yx,y(n)，证明xnxn5、对任何f1,1，定义泛函F(f)10f(t)dt01ftdt，证明F2