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时间:2020-11-14
《实变与泛函试题.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、实变部分一、填空题1.设An1,21,n1,2,3L,则limAn=nnn2.设ERn,若EE(E表示E的导集),则称E为3.设P为康托集,则P,mP=4.设f(x)是R上的实函数,若AxRf(x)0,AnxRf(x)1,n则A可用An表示为5.设E为Rn中的点集,若对任意点集T都有,则称E为勒贝格可测集6.若mEfn(x)f(x)0,则称fn(x)在E上7.设fn(x)为E上几乎处处有限的可测函数列,f(x)为E上几乎处处有限的可测函数,若对0有,则称fn(x)在E上依测度收敛于f(x)8.设fn(x)在E上依测度收敛于f(x),则存在fn(
2、x)的子列fnk(x)使得9.Fatou引理叙述为:设ERp为可测集,fn(x)为E上一列非负可测函数列,则10.设A和B分别是Rp和Rq中的可测集,则AB是Rpq的可测集,且m(AB)二、判断题1、f(x)可表成一列简单函数的极限函数是f(x)可测的充分非必要条件2、若mE=0,则E为可数集3、任意多个开集之交仍未开集、设f(x)勒贝格可积于可测集,若f(x),xE,则Ef()04E>0xdx5、几乎处处收敛的函数列必定依测度收敛三、计算题1、设E为0,1上的全部有理点,求&和EE在R内的E,E2,xRxQ,则f(x)在0,1上是否勒贝格可积
3、,若可积,求出其2、设f(x)0,xQ积分值3、设()为E上的可积函数列,且limfn(x)f(x)a.e于,又fnxEnEfn(x)dxkk为常数,则f(x)勒贝格可积泛函部分一、判断题1、l是可分的度量空间2、任何度量空间都可以完备化3、Ca,b是第一纲的4、设x是赋范线性空间,则xnx0称为弱收敛5、有限维赋范线性空间上任何两个范数等价二、计算证明1、设x1,2R2,当P=1,2,4,计算xp、设x,d是度量空间,证明:xnx,都有2dx1,xnd(x1,x2)d(x2,x3)Ldxn1,xn3、证明度量空间(x,d)中柯西点列xn是有界
4、点列4、设n是实内积空间X中的点列,若nx(n),且对一切yXxx有xn,yx,y(n),证明xnxn5、对任何f1,1,定义泛函F(f)10f(t)dt01ftdt,证明F2
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