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1、06－07第二学期《实变函数与泛函分析》期末考试参考答案1.设是上的实值连续函数,则对于任意常数,是一开集,而总是一闭集.(15分)证明(1)先证为开集.(8分)证明一设,则,由在上连续,知,使得时,,即,故为的内点.由的任意性可知,是一开集.证明二可表为至多可数的开区间的并(由证明一前半部分),由定理可知为开集.(2)再证是一闭集.(7分)证明一设,则是的一个聚点,则中互异点列使得.………………………..2分由知,因为连续,所以,即.……………………………………………………………………………………6分由的任意性可知,是一闭集.…………………………………7分证明二对,,……………
2、…………5分知,为闭集.……………………………………………………7分证明三由(1)知,为开集,同理也为开集,所以闭集,得证.2.证明Egorov定理：设是上一列收敛于一个有限的函数的可测函数,则对,存在子集,使在上一致收敛,且(15分)证明任选一列自然数,与此相应作的子集则必在上一致收敛于.事实上,对,选使则当时,对一切7都有.………………………6分所以,,若能适当的选取,使,则令即可.利用引理,.故对任给的,对,,使得,取所以在上一致收敛.且………………………………………12分…………………………….15分结论得证.3．证明勒贝格控制收敛定理：设(1)是可测集上的可测函数列；(
3、2)于,=1,2,…,在上可积分；(3),则在上可积分,且.(15分)证明证明一由于,根据Rieze定理,存在子列a.e.收敛于.由于于,从而于,得于.因为可积,可得到在上是可积的,且每个在上是可积的.……………..2分下证.我们分两步证明：(1)先设.对任何,因为在上可积,由勒贝格积分的绝对连续性,知存在,使当且时有.……………………………..4分又因为,所以存在,使当时有,其中.所以当时,,………….…………………..6分因此＝7==………………………….……….…………………..9分这就证明了当时,成立.(2)设.因在上可积,由非负可测函数积分的定义知对任何,存在,使得,所
4、以=..……………….11分另一方面,在上的可测函数列满足：于,（从）,故在上利用(1)的结论（从(1)有,所以由,得）,知存在正整数,使当时,,……………..……………….13分(注意:上一步若直接由(1)得到亦正确)因此……………..………………………………………….15分证毕.证明二由及黎斯定理,存在子列a.e.收敛于.因为于,所以7于,因此于.由可积,得到每个和都是L可积的.………………………………….2分因为在E上可积,即,所以,存在,使得,因此=.…………………6分由绝对连续性,,使得,时,有,对此,由（在上,从而在上）,所以存在,使得当时,,……………………10分当
5、时,记=,所以从,有.因为,所以当时=≤＝＋＋()≤＋2＋2＜＝.…………………………………………………………………………...................15分这证明了.74．证明康托尔(Cantor)集合的测度为零.(10分)证明证明一Cantor集,………....................4分所以…………………................8分…………………..............10分证明二去掉过程进行到第步时，剩下个长度为的闭区间这些区间的总长为当时……………….....4分故………………………….............8分因此即……………………………
6、………………….……….............10分5.证明.(15分)证明当时,；……………………………..........2分当时,.………………............4分7则当时,有………………………………..............6分且,即在上可积.……………………….…………………………..........8分又因为,所以由控制收敛定理得………...........12分原式=.………………............15分6.证明Banach不动点定理：设是完备的度量空间,是上的压缩映射,那么有且只有一个不动点.(15分)证明设为中的任一点,令.…………………...
7、3分下面证明点列是中的柯西点列.因为所以当时,又因为所以从而.即是中的柯西点列,…………...8分由的完备性知,存在,使.因为…………..................................................10分7故,即,所以为的不动点.………..................................................12分下证其唯一性.如果又有,使,则,因,故,即,得证.……….........................
