修正TIMOSHEKO悬臂梁的自由振动分析

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1、第l2卷第1期广州大学学报(自然科学版)Vo1．12No．12013伍2月JournalofGuangzhouUniversity(NaturalScienceEdition)Feb．2Ol3文章编号：1671—4229(2013)01-0058~4修正TIMOSHEKO悬臂梁的自由振动分析叶茂，任珉(广州大学广州大学一淡江大学工程结构灾害与控制联合研究中心，广东广州510006)摘要：基于考虑剪切变形所引起转动惯量的TIMOSHEKO梁，系统地给出了悬臂梁自由振动的分析方法，并验证了分析方法的正确性，给出了数值算例．关键词

2、：铁木辛柯梁；悬臂梁；自由振动中图分类号：TU311．3；U441．3文献标志码：A从18世纪开始，针对梁横向振动，许多研究p，=AGK(OU一)+E12)者提出了一系列理论⋯，从最初的BERNOULLI—EULER梁理论，到考虑转动惯量的RAYLEIGH理式中，U梁挠度(由弯曲引起的挠度和剪切引起的论，然而，对于深梁，剪切变形和转动惯量均不可挠度组成)；为截面转角(是由弯曲变形引起的以忽略，于是有学者又提出了经典的TIMOSHEKO中心轴的转角)；P为梁材料的密度，G为剪切弹梁理论．大量学者对各种梁的自由振动开展了性模量，

3、E为弹性模量，K为截面系数，4为梁横截广泛的研究叫．但是，经典的TIMOSHEKO梁理面面积，，为梁截面对中心轴的惯性矩．论没有考虑剪切变形所引起的转动惯量，会造成设：：t：，手，“(，丁)：争，咖(，)：运动方程中多了一个关于时间的四阶导数项，如ANDERSON所说就自然产生了第二个频谱，导(，)，：z√，再引入无量纲常数：=，致经典TIMOSHEKO梁出现两个波速、两个群速卢=A_GK212度，而实际上第二频谱是没有任何物理意义=，，f为悬臂梁长度，式(1)可转化的．为此，同济大学陈镕教授给出了考虑剪为下列无量纲的偏微分

4、方程：切变形引起转动惯量的TIMOSHEKO梁运动方程，分析表明，考虑了梁剪切变形引起的转动惯量3r‘=a‘一a(2a)后，时间的四阶导数项会消失，导致第二频谱也就¨l+：一自然不存在了．本文就是以考虑剪切变形引起转d毛dTd毛d动惯量的TIMOSHEKO梁运动方程为基础，系统西(，r)(2b)地给出了悬臂梁自由振动的分析方法，并验证了分析方法的正确性，最后给出了一个悬臂梁的数2自由振动的求解值算例．根据模态分析法，设／Z(，r)=T()()，1修正的TIMOSHEKO梁运动方程(，)=T()()，式(2)的模态分析可转化为

5、下列方程的特征值问题：常系数修正TIMOSHEKO梁的运动方程包含一五()+()=A五()(3a)两个偏微分方程：l-o一()一五()+()=A面()fpA32U⋯*1~K2，~＼102U一))(3b)收稿日期：2012—10—09；修回日期：2012一l0—3O基金项目：国家自然科学基金资助项目(51208125，51178126)；广东省自然科学基金资助项目($201104000020)作者简介：叶茂(1982一)，男，助理研究员，博士．E—mail：yemao@gzhu．edu．en第1期叶茂等：修正TIMOSHEKO

6、悬臂梁的自由振动分析59式中，A大于零，其中(r)=一AT(r)．此，柒G，c())(14)的自振频率：~-~／r将式(13)和式(14)代入式(12)，可得设=，警=，则式(3)可转化为下列一阶a：0(15)线性微分方程组：一：妒(L4a)(1)=o)业df=(4b)将式(9)、式(10)分别代人式(11)、式(15)和吉f16、可，导df=一A5+(4c)(17)d=7~一y(A+)(4d)式中，d1=(A+)cosh(／~)一(A一)cos()，一阶线性微分方程组(4)的系数矩阵特征方d2：(A+)sinh(／．e)+

7、垒sin()，程如下：m+mA(1+)一aAy=O(5)式中，m表示特征方程的特征值．d3=sin()一告“sinh(／x)，解得特征方程式(5)的根：cos0h~-cosh(2m=一(1+y)[1±](6)如果式(17)的矩阵系数不等于零，A是特征式中'△=l+，且△>l，得到特征方程式值的充分必要条件：dld4一d2d3=0(18)(5)的4个根如下：求解式(18)，即可得到特征值A，从而可获得m=±,@-~--A(1+)[一13=±(7)梁的自振频率．本文采用数值方法求解A．m=±．／1A(1+)[1+]=±(8)根据

8、式(7)和式(8)中给出的4个根，可解得其对应的特征向量，即可求得方程(3)的通解：图1悬臂梁面=cosh()+sinh()B+COS()C+Fig．1Cantileversin()D(9)=Sinh(cosh(4数值算例Sin(of)c一cos()。f10)为验证分析方法的正确性，采用文