转动悬臂梁自由振动分析

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1、第26卷第11期河南科学Vol.26No.112008年11月HENANSCIENCENov.2008文章编号：1004-3918（2008）11-1317-03转动悬臂梁自由振动分析郝芹，张艳萍（华北水利水电学院水利职业学院，郑州450008）摘要：分析了转动悬臂梁的自由振动问题，通过综合运用解析法和数值方法解决了悬臂梁振型函数过于复杂的问题.由于系统本身具有不能忽略的几何非线性因素，使所得到的系统的控制方程为一个强非线性方程.通过采用数值方法得到的系统的自由振动曲线表明，系统是稳定.关键词：悬臂梁；强非线性系统；几何非线性中图分类号：TB123O302文献标

2、识码：A做大范围运动或转动的柔性梁结构在航天、精密机械中的应用越来越广泛，针对这类系统中存在的几何[1-4]非线性问题，近年来引起了广泛的重视.而悬臂梁结构由于其频率方程、振型较为复杂，以及相关数学理论的局限，分析起来较为困难.本文首先建立一个运动坐标系来描述梁的变形运动，采用假设模态法分析了梁在变形中的位移场，采用数值方法求解转动悬臂梁的频率方程，得到了梁的振型函数．由于所得到的梁的自由振动方程是一个强非线性方程，本文通过数值模拟的方法，得到了系统的自由振动曲线，表明这类系统是稳定的．1系统建模以固定在可绕中心轴线转动的柔性悬臂梁为研究对象．在图1中，柔性悬臂

3、梁一端固定在可绕中心轴线o0转动的刚性支座上，x0o0y0为固结在转轴上的惯性坐标系，yxoy为运动坐标系，o与梁的中心轴线上位于固定端的点重合，0yxp′ox与梁未变形时的轴线重合．系统参数为：支座半径为R，梁为矩形截面均匀细长梁，长M0Po为l，截面宽为b，高为h，弹性模量为E，I为截面二次矩．θ为Rx0刚性支座转动角位移．o0为便于分析，做如下假定：梁的变形运动在o0x0y0平面内；不考虑梁的剪切变形；梁的本构关系假设为线性的．图1定轴转动悬臂梁模型在梁上截取一段微元dx进行位移变形分析．设α为由弯Fig．1Modelofcantileverbeamwit

4、hrotatingmotion矩引起的梁横截面法线的转角，即梁微元dx轴线在运动坐标系xoy内的倾角，如图2所示．其中，N，Q为梁的微元dx的轴向、横向受力，N′x，Q′x分别表示N，Q对x的偏导数．ydxN+N′xdx记ox，oy轴的单位矢量分别为i，j，设梁轴线上任意一点p0p（x，0）（x为梁未变形时点p在运动坐标系内的横坐标）变形后Q+Q′xdxQ位于p′点，p点由变形引起的轴向、横向位移分别为u（x，t），p[3][3]v（x，t），则p点变形后对o0的绝对矢径、绝对速度、绝对加速αN度为oxrp=［R+x+u（x，t）］i+v（x，t）j，（1）坠u

5、觶觶坠v图2运动坐标系内梁的变形描述r觶p=［-θv］i+［（R+x+u）θ+］j，（2）坠t坠tFig．2Descriptionofbeamdistortioninmovingcoordinate收稿日期：2008-05-11作者简介：郝芹（1975－），女，河南郑州人，讲师，硕士研究生，主要从事工程结构的非线性动力学研究.-1318-河南科学第26卷第11期22r咬=［坠u-2坠vθ觶-vθ咬-（R+x+u）θ觶2］i+［坠v+（R+x+u）θ咬+2坠uθ觶-vθ觶2］j劬a（t，x）i+b（x，t）j，（3）p2坠t2坠t坠t坠t其中，r觶p，r咬p分别表

6、示对时间的1阶、2阶导数，式中22a=坠u-2坠vθ觶-vθ咬-（R+x+u）θ觶2，b=坠v+（R+x+u）θ咬+2坠uθ觶-vθ觶2．22坠t坠t坠t坠t[2]设点p所在横截面上任意一点为p（0x，y），则p0点的轴向应变可写成2坠u坠v1坠v2εx＝－y2+（），（4）坠x坠x2坠x其中，y为梁未变形时p0点在运动坐标系内的纵坐标．分析如图2所示的梁微元dx受力情况，可得如下方程：N′xcosα+Q′xsinα=ρAa（x，t），（5）N′xsinα+Q′xcosα=ρAb（x，t），（6）ll（J+J）θ咬+ρA乙xv咬dx+J乙xα咬dx=M0，（7）

7、hbh00其中：Jh为转动支座对转轴o0的转动惯量；Jb为梁相对于转轴的转动惯量；J0为单位长度梁的转动惯量；M为′′外力矩；N，Q为梁的微元dx的轴向、横向受力；Nx，Qx分别表示N，Q对x的偏导数，式中坠u1坠v2N=蓦EεxdA=EA［+（）］，（8）坠x2坠xA33坠v（x，t）坠vQ=EI=EI，（9）33坠x坠xl2212Jb=乙ρA（R+x）dx=ρAl（R+Rl+l）．（10）03把（8）～（10）代入（5）～（7）各式，并对sinα，cosα按Taylor级数展开并保留至一次项，并注意到坠vα＝，坠x化简整理可得系统的运动方程为224坠u坠v坠

8、v坠v坠vEA（+）+E