正随机向量的矩

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1、第17卷第1期数学研究与评论Vol.17No.11997年2月JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITIONFeb.1997X正随机向量的矩谢　汉　生(加拿大曼尼托巴大学统计系)摘　要　本文给出一个计算正随机向量矩的统一的方法,并对一些特殊的重要的分布类具体给出矩的表达式.关键词　随机向量,混合矩,C分布,B分布,Weibull分布,Dirichlet分布,成份数据,可靠性.分类号　AMS(1991)62E10öCCLO212.2§1　引　言在可靠性统计、成分数据统计分析中经常会遇到各类正的随机向量,计算这些随机向量的矩对于了解这些

2、随机向量的性质是有意义的.这些分布中一些特殊的分布如C、B、Weibull分布等是在可靠性统计中经常见到的,然而当边缘分布是这一类分布时,向量之间相互关系如何呢?相关性如何呢?就涉及到二阶矩的计算,本文将给出一些有意义的例来说明这一点.在成分数据分析中,成分是非负的,成分之间的相关性是明显的,然而有些分布类矩的计算也不是容[1]易的,有的至今还没有明确的表达式.为了方便,对文中的记号先作一些说明.用小写字母表示变量、常量或向量,其意义或维数x1由上下文自然确定;当x表示向量时,x表示n维向量,它的分量用足标表示,即x=•,x′n×1xn表示x的转置;当y是向量时,dy表

3、示相应的微分向量,f(y)dy表示多重积分⋯f(y1,n×1∫∫∫⋯,yn)dy1⋯dyn,积分不注明积分域时表示在全空间上积分.在§2给出这个方法,在§3给出各个例,并简略说明此例的意义,当意义明显时,就不再说明.§2　基本公式+给定正的n维随机向量y=(y1,⋯,yn)′,于是y只在Rn={x:x=(x1,⋯,xn)′,xi>0,n×1i=1,2,⋯,n}上有非0的密度,用p(y)表示y的密度函数.规定p(y)=0时,lnp(y)=-∞,X1994年2月7日收到.—141—©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Al

4、lrightsreserved.lnp(y)e=0,于是y的密度可以写成lnp(y)f(y)p(y)=e¦e,y>0,+y>0表示y的每个分量yi都是正的,即y∈Rn;符号“¦”表示“记成”,即用等式右端表示左端,在上式中,即f(y)=lnp(y).na此时要求i),也即求下述积分y的混合矩E(∏yii=1n(ai)ef(y)∫∏yidyi=1y>0的表达式.为了以下求解更为方便,考虑形式上似乎更复杂一些的积分,记(a>0,b>0)n(aibi-1)e-f(y)C(a,b;f)=∫∏yidy,(1)i=1y>0假定右端的积分是有限的.注意到右端被积函数是非负的,于是n[

5、-1(aibi-1)e-f(y)C(a,b;f)]∏yi,y>0(2)i=1也是一个密度函数,它只在y>0上有非0值,因而是正随机向量的联合密度.可以看到(2)将包含许多常见的分布族.nnb#(ai)1.i(a,b;f)=f(y)=∑Kiyi时,有C∏ai.记联合密度为p(y),于是i=1i=1biKinanbbiKi-2Kyiiab-1iip(y)=(yii)ei=1,y>0.(3)∏#(aii=1i)　　易见当bi=1,i=1,2,⋯,n时,p(y)是独立的C分布的乘积;当ai=1,i=1,2,⋯,n时,p(y)是独立的Weibull分布的乘积.nb(Ki2.f(y

6、)=∑i-1)ln(1-yi),Ki>0,00,(5)i=1n则令t=∑Xi,xi=Xiöt,i=1,2,⋯,n后,x=(x1,⋯,xn)′就是成份向量,xi>0,

7、i=1,2,⋯,i=1nn,且∑xi=1,t称为总量.此时t与x1,⋯,xn-1的联合分布为i=1nnn-1ab-1A-1-tsf(x)[(ii)tC(a,b;f)]∏xie,A=∑aibi,t>0,x>0,xn=1-∑xi,i=1i=1i=1于是成分x的分布(也就是x1,⋯,xn-1的联合分布),可以求得其密度为nn-1-1#(Aös)ab-1[C(a,b;f)]xiixAös∏i,x>0,xn=1-6i,(6)s[f(x)]i=1i=1—142—©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.