从四元数到空间向量-上

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1、科學月刊【數‧生活與學習】專欄9908從四元數到空間向量（上）單維彰‧99年7月19日在1830年之前，西歐的數學圈已經普遍知道平面上的點坐標(,)ab轉化成複數abi的觀念，複數被認知為「平面數」，而實數就相對地成為「直線數」；複數和實數具備同樣運算性質的加減乘除。讀者不難想像，那個時代的數學家不可避免地想要創造「空間數」：將空間中的點坐標(,,)abc轉化成一個可以像實數和複數一樣做加減乘除計算的數。後人在高斯遺留的手稿中發現他在1819年嘗試過a+bi+cj形式的「空間數」，其中的a+bi就是

2、複數。但是並不成功也就沒有發表。據漢彌爾頓(WilliamHamilton,1805—65)的自述，這個問題大約從1828年起成為他「智識上的渴望」(anintellectualwant)，直到十五年後的1843年10月16日，在一次「觸電似」的神奇經驗中頓悟了三項不夠而需要四項的「空間數」：u+ai+bj+ck，稱為四元數(quaternion)，其中u稱為純量部分，ai+bj+ck稱為向量部分；i、j、k扮演像複數中的虛數單位i那樣的角色，稱為生成元素，而u、a、b、c都是實數。順便一提，1843

3、年是中英〈南京條約〉生效的第一年，英國佔領香港。[科學月刊為此照片添文字解說。這是紀念漢彌爾頓在都柏林附近的Brougham橋（現稱BroomBridge）上獲得四元數之靈感的碑牌。]就像複數一樣，兩個四元數p=u+ai+bj+ck和q=v+xi+yj+zk相等的意義是u=v、a=x、b=y、c=z。四元數的加或減就是對應係數的加或減，也就是p±q=(u±v)+(a±x)i+(b±y)j+(c±z)k，可見四元數的加法具備實數或複數加法的性質：結合律與交換律。至於乘法，漢彌爾頓直接規定四元數的乘法對加

4、法滿足分配律，所以只要規22定生成元素之間的乘法規則，就能做四元數的乘法。這些規則是：i=-1、j=-1、2k=-1、ij=k、jk=i、ki=j、ji=-k、kj=-i、ik=-j。根據以上遊戲規則，讀者不妨嘗試一個簡單的例子：2(3+2i)(7i-5k)=3(7i-5k)+2i(7i-5k)=21i-15k+14i-10ik=-14+21i+10j-15k一般而言，四元數p和q相乘的結果如下：pq=(uv-ax-by-cz)+(ux+va+bz-cy)i+(uy+vb+cx-az)j+(uz+vc

5、+ay-bx)k22漢彌爾頓也定義像共軛複數一樣的「共軛」四元數：p=u-ai-bj-ck，則pp=u+a22222221p+b+c=

6、p

7、，因為pp/(u+a+b+c)=1，於是產生p的倒數，再規定2p

8、

9、p1qpq()就得到了四元數的除法；當然，除數還是不得為0，而這樣定義的p除法自然滿足乘除互逆的性質。四元數與實數和複數都「相容」。當a=b=c=0，也就是向量部分為零，則p就是實數。當b=c=0，則p就是複數。而且，當四元數「退化」成實數或複數的時候，它們的加減乘除計算就像實數或複數一樣。

10、唯一「遺憾」的是：四元數的乘法不具有交換律。這可以從生成元素的乘法規則看出來，例如ij=k但是ji=-k。當u=v=0，也就是p和q都只有向量部分，則pq=-(ax+by+cz)+(bz-cy)i+(cx-az)j+(ay-bx)k可見pq的純量部分是兩向量之內積的相反數，而pq的向量部分是兩向量的外積。而外積是不可交換的，它具有「逆交換性」：uv(vu)。所以，當p和q都只有向量部分，則pq和qp互為共軛四元數，通常並不相等；至於p和q都是一般四元數的時候，pq和qp就只知道純量部分

11、相等了。如果把向量認知為「有方向的長度量」，則向量相乘就該是「有方向的面積量」。如此看來，四元數的乘法在向量部分等同於外積，就似乎有其不可避免的內在需要。至於放棄了乘法交換律，也似乎是一種非如此不可的「棄保效應」：棄交換律而保住更基礎的結合律(associativelaw)：若p、q、r是四元數，則(pq)r=p(qr)。如果結合律不成立，就不能有「連乘」計算，因為(pq)r和p(qr)未必相等，所以pqr沒有確切的意義。刻在金雀花橋紀念碑上的一條等式ijk=-1就表22現了結合律。因為ijk等於(i

12、j)k，也等於i(jk)，而前者是k=-1，後者是i=-1，兩者相等，所以可以簡記為連乘符號ijk=-1。事實上，「結合律」這個名詞就是在漢彌爾頓討論四元數的時候首度出現。在四元數之前，數學家並沒有討論過不滿足結合律或交換律的運算；也就是從四元數開始，數學的「代數」支系有了全新的視野：人們可以在一個全然人造的符號系統中定義加減乘除，並討論其運算性質。現在，我們應該可以不過份失真地詮釋漢彌爾頓發展四元數的心理狀態：他要找到一種和直線數（實數）與平面數（複數