二阶弹性波动方程高精度交错网格波场分离数值模拟

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1、第３３卷第６期物探与化探Ｖｏｌ．３３，Ｎｏ．６２００９年１２月ＧＥＯＰＨＹＳＩＣＡＬ＆ＧＥＯＣＨＥＭＩＣＡＬＥＸＰＬＯＲＡＴＩＯＮＤｅｃ．，２００９二阶弹性波动方程高精度交错网格波场分离数值模拟１１１２陈可洋，杨微，刘洪林，吴清岭（１．大庆石油学院地球科学学院，黑龙江大庆１６３３１８；２．大庆油田有限责任公司勘探开发研究院，黑龙江大庆１６３７１２）摘要：给出了一种等价的二阶弹性波动方程，以解决弹性波场中完全弹性波动方程不能完全分离耦合的纵、横波波场问题。应用高阶交错网格有限差分法求解该波动方程，并使用通量校正技术（ＦＣＴ）进一步压制频散，采用均匀介质模型

2、和层状介质模型进行波场分离数值试验，精确得到了混合波场、完全分离的纯纵波及纯横波波场。数值结果分析表明，本文方法在均匀介质情况下准确可靠，在分离后的纯纵、横波波场中可观察到较为丰富的能量转换信息，这对认识复杂弹性波的传播规律及弹性波理论具有重要意义。关键词：地震波场分离；高阶交错网格；等价二阶弹性波动方程；数值模拟；通量校正技术中图分类号：Ｐ６３１．４文献标识码：Ａ文章编号：１０００－８９１８（２００９）０６－０７００－０４地震波场数值模拟技术一直是勘探地球物理领高阶交错网格有限差分法求解，仅需求解６个方程，域内最为活跃的研究内容之一。利用精确的波动方模

3、型纵横向网格节点数不受方法限制，可精确得到程数值解模拟复杂地下波场，为研究地震波传播机混合波场及完全分离的纯Ｐ波和纯Ｓ波波场，且完理、地震资料的特殊处理方法以及复杂地层的解释全保留纵横波能量转换信息，这对认识弹性波的传［１－３］等许多方面提供更为科学的数学物理依据。播规律，指导实际资料处理与解释具有重要意义。在实际勘探中仍然存在许多复杂问题值得深入１算法原理探讨，这对研究波动理论，指导地震资料的特殊处理与复杂构造解释具有重要意义。例如，多波多分量１．１等价的弹性波动方程地震记录的每一个分量均包含不同的波型，简单地在三维各向同性完全弹性介质中的弹性波动方［

4、９］把垂直分量看成Ｐ波，水平分量看成Ｓ波是很不合程由如下的运动方程描述２理的。Ｓ２２２＝ｖｐ（·Ｓ）－ｖｓ×（×Ｓ）（１）常规地震资料处理总是希望处理单一分量的标ｔＴ量波场，因此从混合波场中解析出纯Ｐ波和纯Ｓ波其中，Ｓ＝（ｕ，ｖ，ｗ）为位移场，ｖｐ为纵波速度，ｖｓ为场是进行速度分析、偏移成像等地震资料数据处理横波速度。的前提。引入新变量Ｓｐ和Ｓｓ，使得Ｓ＝Ｓｐ＋Ｓｓ，且令［４］２Ｓ马德堂等提出满足Ｐ波为无旋场、Ｓ波为无ｐ２２＝ｖｐ（·Ｓ），散场的等价方程思路，采用虚谱法来实现波场分离ｔ（２）［５－６］２Ｓ数值模拟，得到较好的数值模拟结

5、果，但是虚谱ｓ２２＝－ｖｓ×（×Ｓ），法很难处理吸收边界条件和自由表面边界条件，同ｔ时计算时间和存储量的代价很大，计算网格节点数易证，Ｎ２必须满足２，且可能存在着Ｇｉｂｂｓ效应。李振春、×Ｓｐ＝０，［７－８］ｔ２ＺｈａｎｇＪｉａｎｌｅｉ等提出基于一阶速度—应力各向（３）２同性弹性波波场分离等价波动方程，采用高阶交错·Ｓｓ＝０。２网格有限差分法实现波场分离数值模拟，但是该等ｔＴＴ价波动方程需要求解１１个方程，计算量庞大。其中，Ｓｐ＝（ｕｐ，ｖｐ，ｗｐ），Ｓｓ＝（ｕｓ，ｖｓ，ｗｓ）。由式（３）笔者给出一种等价的二阶弹性波动方程，采用可知，

6、Ｓｐ为无旋场，Ｓｓ为无散场，分别对应纯纵波和收稿日期：２００８－１２－０１６期陈可洋等：二阶弹性波动方程高精度交错网格波场分离数值模拟·７０１·纯横波波场，理论上证明了在均匀各向同性介质中可得到计算所需的差分方程式。另外，为解决差分纯纵波和纯横波波场可实现完全分离。近似阶数不可能无限制地提高的问题（这增加了计对于二维无源情况，等价波动方程可以写成算量和计算复杂度），笔者结合通量校正技术（ｆｌｕｘ［１３－１４］ｕ＝ｕｐ＋ｕｓ，（４）ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，简称ＦＣＴ），使波场中的ｗ＝ｗｐ＋ｗｓ，（５）微小频散现象（一般高阶交错网格法较难完

7、全压制２Ｌｔｔｕｐ＝ｖｐ·（Ｌｘｘｕ＋Ｌｘｚｗ），（６）的部分，即差分近似产生的截断误差所引起的部Ｌｗ＝ｖ２·（Ｌｕ＋Ｌｗ），（７）分）在平滑校正中得到进一步的压制，从而能够实ｔｔｐｐｘｚｚｚＬｗ＝ｖ２·（Ｌｕ＋Ｌｗ），（８）现高精度的交错网格有限差分法数值模拟。给出其ｔｔｓｓｘｚｘｘ［１５］Ｌｕ＝ｖ２·（Ｌｕ＋Ｌｗ）（９）稳定性条件：ｔｔｓｓｚｚｘｚＬ形式。其中，Ｌｘｘ、Ｌｘｚ、Ｌｚｚ为空间微分算子，Ｌｔｔ为时间Δｔｖ１＋１≤１／∑｜ａ｜。（１５）ｐ２２ｌ微分算子。槡ΔｘΔｚｌ＝１１．２高阶交错网格有限差分法及其稳定性条件２波场分离数值模拟实例笔者采用

8、网格节点交叉配置的方法以提高数值模拟精度，其中空间微分算子采用高阶交错网格差２．