椭圆内接直角三角形的充要条件及结论推广

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1、2010年第11期中学数学研究21椭圆内接直角三角形的充要条件及结论推广福建省漳J,i、I一中(363000)林新建文[1]给出椭圆内接三角形为直角三角形的一的充要条件是2口+0=(、a以2+b02)，．个充要条件，读后颇受启发．本文给出椭圆内接三角形为直角三角形的又一充要条件，并将结论推广，介证明：设A、B、P的坐标分别为，则绍如下．A(acos~，bsina)，B(aco，bsi)，尸(acosy，22，，bsiny)，则性质1已知椭圆E：+鲁=1(口>b>0)aDPA=(a(cos—cos

2、T)，b(sina—siny))，PB：及点C(rn，n)．对任意过点C的直线与该椭圆的两(a(co一2osy)，b(si一siny))．于是PA·P曰=a(cos—cosT)(CO一cosT)个交点A、B，在椭圆上存在一点P，使得／_APB=+b(sina—siny)(sir一sinT)域如图阴影部分所示．该图形由两个半径为1的÷(3)对函数Y=+¨_和Y=+(常数n>戈圆及两个边长为1的正方形和一个半径为的弓形0)作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性(只须写出结

3、论，不必组成，其面积为S=2×÷t7r×1+2+÷7r×()，1n1、n证明)，并求函数F()=f+一11+f+l(凡＼，＼，一×2×1=丌+1．r1，是正整数)在区间I÷，2I上的最大值和最小值(可点评：本题设计颇富创意，考生需做正方形滚动LZJ的实验，并观察和发现滚动的规律，完成此题既需实利用你的研究结论)．验又需想象，算面积还需用割补法，是一道考查创新分析：从略．意识的好题．点评：本题模拟数学家研究数学的过程而精心8命题推广型设计，是一道考查学生数学探究能力的好题目，考查推广是提出新问题、

4、发现新规律、猜想新命题的了独立地探索规律、猜想结论、证明猜想、应用结论常用方法．把一个数学命题的某些特殊条件或结论的能力．对于(2)的解答，需要将(1)的结论推广；一般化，从而得到更为普遍的结论(命题)，这种过(3)小题要求考生由(1)、(2)的结论，猜想的结论程就称为数学问题(命题)的推广．命题推广型试题(需对n的奇偶性加以讨论)，这需要考生对函数Y要求考生对已知命题进行拓展或推广．命题推广的=+和Y=十单调性的结论通过分析、类方法很多，比如将命题的条件加强或削弱或减少，将条件或结论中的数量、

5、形式或关系普遍化，将命题中比、归纳、推广进而得到猜想，第(3)小题还要求考的某些结论加强或削弱，将命题中涉及的系数、项生运用自己猜想出来的结论求解F()的最值，本数、指数、参数等推广，将2维平面几何问题推广到3小题具有相当大的思维跨度和难度．解答本题的步维立体几何甚至推广到凡维空间或无穷维空间等．骤可归结为：学习已知性质——应用已知性质——例8(2006年上海卷理科22题)已知函数Y：推广已知性质(简单推广)——证明推广的性质——猜想一般结论(实质性推广)——证明猜想z+有如下性质：如果常数a>

6、0，那么该函数在(为控制难度本题不要求证明)——应用猜想的结(0，√o]上是减函数，在[，∞)上是增函数．论，可以看出，这个解答过程从本质上讲和数学家研一’b究数学的一般方法和程序是基本相同的．(1)如果函数Y=+(>0)的值域为[6，参考文献[1]李红庆．一览庐山真面目方知身在此山中[J]．数学通报，+∞)，求b的值；2009，48(8)．(2)研究函数Y=+(常数。>0)在定义[2]赵思林．以创新意识立意的高考数学命题的新特点[J]．中学数学(E半月)，2009，(8)．域内的单调性，并说明

7、理由；22中学数学研究2010年第11期2口—一2o2口—一20二+二+26—2626—26+bftantanT)(ta一tany)insina2s字sin+垦4sinsmflT∞血+一2吖—b2cos字cos)—(。isin+COSO／COS~COS由C(m，71,)在直线AB上，知bsint~．。nb2cosc。s)，I____J，，J●I【ⅡCoS一m：：。二由C(m，n)在直线AB上，知：btana+—nacos,B—m’asecot—-m：整理得：absin(一)一ha(sina—si

8、)+璺二=an(c0s—CO)=0．asecfl—m’整理得：bmsin(一)一ab(sina～sinf1)+sin(Ot—JB)詈(sin—sin／3)+n(c0s一an(COSOL—co)=0．CO)=0．2a+／3cos一c02一co0s—+詈s郇in“=0U．‘⋯c0一∞一“=0(1)(1)———+——·4-bc0PA·pB=o蔚=0甘a2sin字sinⅡsina+Vsin02+b2cos字cos⋯=甘(。2+6)c。s一(。2—6)c。s(22+铮(a+b)COS一。cos(～一～+～