例说将圆的结论推广到椭圆的方法.pdf

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1、·专论荟萃·数学通讯一2014年第4期(下半月)41例说将圆的结论推广到椭圆的方法缪选民(江苏省泰州市海陵区教育局教研室，225300)2009年全国高中数学联赛陕西赛区预选赛有列举的位置关系、数量关系是等价的，这就等于知道如下一道平几题：了：圆中什么样的问题能推广到椭圆?怎样推广7．如图1，PA，PB为oo的两条切线，切点分别例如，上述竞赛题中的结论“PQ=PC·PD一为A、B，过点P的直线交o0于C、D两点，交弦Qc··QD”本质上·’器一·’器=1”，由于AB于点Q．求证：PQ=PC·PD—QC·QD．PC、PD、QC、QD、PQ是位于同一直线PD上的几P条线段，因此甓、器

2、、、器的值在圆与椭圆中是相等的；再根据“结合性”知圆的切线与椭圆的切B线仿射等价，所以PQ=PC·PD—QC·QD这一结论在椭圆中成立就是必然!换句话说，即使没有文图1图2[1]的探索，也知道上述竞赛题的结论能推广到文[1]将该题推广到了椭圆(乃至双曲线与抛物椭圆．线)：如图2，PA，PB为椭圆的两条切线，切点分别下面我们通过具体的例子来说明将圆中的结论为A、B，过点P的直线交椭圆于C、D两点，交弦推广到椭圆的方法．AB于点Q，则PQ=PC·PD—QC·QD．读罢文[1]，笔者思索这样一个问题：上述竞赛例1如图3，AB、CD是CO0的互相垂直的两条直径，P题中的结论在椭圆中也成立

3、，这是必然还是偶然?为圆上一点，CP交BA的延长线日圆中有些问题能推广到椭圆，有些则不能，那么什么JD于点Q，DP交BA于R，求证：样的问题能推广?怎样推广?OA=OR·OQ．如果搞清了这个问题，对我们至少有两点帮助：图3这是初中课堂上常见的一道一是能够高屋建瓴，无需再探索圆中的某个结论在几何题，利用aODRooaOQC不难证得此结论．椭圆中是否成立，可以立即知道答案；二是能够帮助我们来看此问题能否推广到椭圆．我们得到一些“新题”，拓宽椭圆这一章的教学资源．首先，观察这个问C一由于椭圆是圆的仿射变换图形，因此，要想了解侧圆中的某个结论在椭圆中是否成立，只要知道下述不变性”OA,曰

4、A．“仿射不变性”即可【21．，由于OR、OQ是位于同一D具有仿射不变性的位置关系：直线与直线平行、直线上的线段，因此图直线与直线相交、三点共线、三线共点、结合性(直线OA是仿射不变与曲线的相切、相交、相离)；、具有仿射不变性的数量关系：两平行线段之比、量；同一直线上的两线段之比、封闭图形的面积之比．其次，考虑怎样将这个问题推广到椭圆．由仿射上述仿射不变性在高校数学系《高等几何》的教变换的“结合性不变”知，图中的线线相交、点共线等科书中都有详述或证明，这里不再赘述．位置关系依旧成立，又因为“平行、中点”具有仿射不上述仿射不变性的意义在于：在圆或椭圆中，所变性，因此圆中的关键条件“

5、互相垂直的两直径”在42数学通讯一2014年第4期(下半月)·专论荟萃·椭圆中就成了一对共轭直径(如图4)，所以，该题推同法可求得点R的横坐标zR=广到椭圆后得到新的问题：·盘，所以题1如图5，O是椭圆的中心，AB、CD是椭o·zR=a2sin2a②圆中的一对共轭直径，P为椭圆上一点，CP交BA由①②得lz=IzO·．72R，而OA=(1+忌2AB)·的延长线于Q，DP交BA于R，则OA=OR·0Q．下面给出题1的一个初等证明．，OQ=√1十足IzQI，OR=√l+尼l,2CRl，所以OA=OR·00．．Jl如果将共轭直径的位置取得特殊一点(分别为～椭圆的长轴和短轴)，就得到大家

6、非常熟悉的下题．题2如图7，椭圆laQ2／．--+=1(口>b>0)与．y轴、B图56相交于C、D，与z轴相交D以椭圆的长轴所在直线为．17轴、中心为原点建于A、B，在椭圆上任取一点2．．P，连结CP，延长后与轴图7立如图6所示的平面直角坐标系，设椭圆方程为相交于点Q，连结DP，与z+=1(n>b>o)，C点坐标为(ncOsa，bsina)，P轴相交于R，求证：OA=OR·0Q．在平时的教学中，通常是用一个换元法z=点坐标为(acos~，bsinf1)，则D点坐标为(一aCOSa，羔一bsina)，cD的斜率∞btana,不难求得其共，．y=孚将椭圆转化成圆来解答的，讲给学生听口

7、“时，有的学生对变换后OA佗=OR·OQ成立能推轭直径AB的斜率足AB=一COta，AB所在直线的出变换前也成立存在疑惑(这是个深层次的问题)．方程为其实，本题不一定要变换，可直接证明：{=一2nC2一+。一bbc2o：ta1。．’lz．设P点坐标为(acosfl，bsin／?)，则DP的方程由求得A点的横坐标zA满是=一6／~，令_)7=0，得z=i6l+COiS，即bny一cO。zOR=；足z=aZsin2a同理可得OQ，所以又cP所在直线的方程为=·(zOR·oQ=·2=I