从圆到椭圆的不变性质及其应用-论文.pdf

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1、2014年第6期中学数学研究·19·从圆到椭圆的不变性质及其应用广东省东莞市第十高级中学(523981)邓振江1．引言仅保持直线的平行关系不变而且还保持平行线段的人教版选修l一1P，(人教版选修2—1P，。)对长度比不变．椭圆描述都是基于椭圆的定义“到两个定点F。、证明：设圆+y2=o所在平面上有直线L与的距离的和为一个定值(大于IF。I)的点的集直线平行，点A(x。，Yo)和点8(x。，Y。)在直线。合”，椭圆的定理及圆与椭圆关系也很少涉及，这对上，点c(x，Y2)和点D(x，，Y，)在直线2上(如图1大家认识以及应用椭

2、圆很不利．-Yo)2_1)，且设=／(xl-Xo)2+()Y，3t由人教版选修l—lP43(人教版选修2—1P。)N一)组第一题，笔者发现：椭圆是圆通过一个特殊的仿射=M，又直线L。与直线平行，当直线和直线变换得到的一种圆锥曲线，它们之间有着一个特殊的斜率存在时有：二，当直线厶和直线的仿射关系，利用这一关系可以把圆的一些性质定理推广到椭圆上，也可以直接用这一关系来解决一的斜率不存在时，即=且，=：时，有Y一些实际问题．把握椭圆与圆的这一仿射关系，可以帮Y0=Ys一．综上，直线L与直线平行，则有(Y助我们更多更深入地了解椭圆

3、，也可以推广仿射关一Yo)×(3一2)=(l一0)×(Ys一，，2)．系这种研究方法．2．预备知识引理1从圆到椭圆的压缩变换(沿Y轴方向)保持点的横坐标不变．引理2从圆到椭圆的压缩变换(沿Y轴方向)中点的纵坐标成比率．定理1圆经过压缩变换(沿Y轴方向)后得出图1—1图1—2的是椭圆．而在圆的仿射图形椭圆+=1上(如图1证明：取仿射变换以后曲线上任意一点设为点22．，．，M(x，Y)，则它满足椭圆的标准方程+=1(口>—2)，直线。和直线上则分别包含点A(。，U￡，-Y0)、B(1，Y1)、C(2，Y2)和点D(3，Y3)．

4、b>O)．现在证明IMFlI+II=2a(一口≤≤其中。=Y。=；，-=)，=；口)，贝4IMF1I+IJ】Il=(+c)+Y+厂———————————————2=)，2=3=，，3=3，当直线Ll7=V／(+c)+b一“+和直线￡2的斜率不存在时即l=0且3=戈2时，／厂—x————————————r—c)+6一则’。=’。且’3=；当直线。和直线的斜率+、=存在时则有：_垒_丛：．无论I一0u1一03一2口斜率是否存在都有直线与直线平行，即圆经：(：±2±(二)：2口．过压缩变换(沿Y轴方向)以后保持直线的平行关n系不

5、变．即圆经过仿射变换_+，=；y--*y=b，得要证明圆经压缩变换(沿Y轴方向)后保持平到的曲线满足椭圆的定义，是椭圆．行线段的长度比不变，等价于要证明定理2圆经过压缩变换(沿Y轴方向)后不仅·2O·中学数学研究2014年第6期，1一，0)。+(Y。-Y'o)l一％)+(Yl—yo)Y'o)，任作一直线与椭圆+=1交于A，B两√(一，2)+()，，3一)，，2)一，＼／(一)+(y3一)点，Dc为平行于A的半径，则丝为定即=值j}，并且k：Xo+YO一1兰_=_o_-_：M2．定值k叫做点M关于此(，即[(一。)z+)+(

6、y3一)。L’3一2椭圆0的幂，简称椭圆幂．()，。一2]×[(，一)+()，。一y2)：]：[(。证明：我们先做一个从圆+)，2=口到椭圆)z+()，一2]×[(，一2)+b2(一一2]，+=1的仿射变换：—=；y---~y=_bDa化简得(一1)×(s一z)×()，一yo)=(一n01)×(戈1一。)×(，，3一y2)．E面已证(y1一'，n)×(一，)=(1一n)×()，3一Y2)，那么就有(l—XtO)+(Yl—Y'o)(3一2)+(Y3一Y2)(1一X0)+(Y1一Yo)(3一2)+(y3一y2)=成立，图2—1

7、图2—2过平面上一个定点M(x。，Yo)，任作一直线与圆日n√／(1一0)+(Y1一Y'o)交于A，两点(如图2—1)，则与之对应的有过平面(3一2)+(y3一Y'2)12，t2上一个定点M(。，Y。)的直线与椭圆+=1=一^√√／(3一等2)+(y3一y2)=一眦风即cD=一交于A，两点，0C为平行于A的半径(如图2AB—，即圆经过压缩变换(沿)，轴方向)后保持平行线2)．由定理2知，从圆到椭圆的仿射变换中，平行段的长度比不变．线段的长度比不变即=，=，从而综上则有圆经过压缩变换(沿Y轴方向)以后M‘AxM’B一不仅仅是

8、保持直线的平行关系不变而且还保持平行02一D，C，‘线段的长度比不变．又由圆幂定理知MA×MB=D一口，那么两注1：这里就讨论a>b>0的情况，b>a>0边同除以口则有丝：：一1即椭圆焦点在Y轴上时，可以看成是圆在横向上压缩得来的图形，有相似的结论．=一注2：点0和点0为圆和椭圆的中心，且中心都a等+辱