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时间:2020-04-23
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1、2014年第6期中学数学研究·19·从圆到椭圆的不变性质及其应用广东省东莞市第十高级中学(523981)邓振江1.引言仅保持直线的平行关系不变而且还保持平行线段的人教版选修l一1P,(人教版选修2—1P,。)对长度比不变.椭圆描述都是基于椭圆的定义“到两个定点F。、证明:设圆+y2=o所在平面上有直线L与的距离的和为一个定值(大于IF。I)的点的集直线平行,点A(x。,Yo)和点8(x。,Y。)在直线。合”,椭圆的定理及圆与椭圆关系也很少涉及,这对上,点c(x,Y2)和点D(x,,Y,)在直线2上(如图1大家认识以及应用椭
2、圆很不利.-Yo)2_1),且设=/(xl-Xo)2+()Y,3t由人教版选修l—lP43(人教版选修2—1P。)N一)组第一题,笔者发现:椭圆是圆通过一个特殊的仿射=M,又直线L。与直线平行,当直线和直线变换得到的一种圆锥曲线,它们之间有着一个特殊的斜率存在时有:二,当直线厶和直线的仿射关系,利用这一关系可以把圆的一些性质定理推广到椭圆上,也可以直接用这一关系来解决一的斜率不存在时,即=且,=:时,有Y一些实际问题.把握椭圆与圆的这一仿射关系,可以帮Y0=Ys一.综上,直线L与直线平行,则有(Y助我们更多更深入地了解椭圆
3、,也可以推广仿射关一Yo)×(3一2)=(l一0)×(Ys一,,2).系这种研究方法.2.预备知识引理1从圆到椭圆的压缩变换(沿Y轴方向)保持点的横坐标不变.引理2从圆到椭圆的压缩变换(沿Y轴方向)中点的纵坐标成比率.定理1圆经过压缩变换(沿Y轴方向)后得出图1—1图1—2的是椭圆.而在圆的仿射图形椭圆+=1上(如图1证明:取仿射变换以后曲线上任意一点设为点22.,.,M(x,Y),则它满足椭圆的标准方程+=1(口>—2),直线。和直线上则分别包含点A(。,U£,-Y0)、B(1,Y1)、C(2,Y2)和点D(3,Y3).
4、b>O).现在证明IMFlI+II=2a(一口≤≤其中。=Y。=;,-=),=;口),贝4IMF1I+IJ】Il=(+c)+Y+厂———————————————2=),2=3=,,3=3,当直线Ll7=V/(+c)+b一“+和直线£2的斜率不存在时即l=0且3=戈2时,/厂—x————————————r—c)+6一则’。=’。且’3=;当直线。和直线的斜率+、=存在时则有:_垒_丛:.无论I一0u1一03一2口斜率是否存在都有直线与直线平行,即圆经:(:±2±(二):2口.过压缩变换(沿Y轴方向)以后保持直线的平行关n系不
5、变.即圆经过仿射变换_+,=;y--*y=b,得要证明圆经压缩变换(沿Y轴方向)后保持平到的曲线满足椭圆的定义,是椭圆.行线段的长度比不变,等价于要证明定理2圆经过压缩变换(沿Y轴方向)后不仅·2O·中学数学研究2014年第6期,1一,0)。+(Y。-Y'o)l一%)+(Yl—yo)Y'o),任作一直线与椭圆+=1交于A,B两√(一,2)+(),,3一),,2)一,\/(一)+(y3一)点,Dc为平行于A的半径,则丝为定即=值j},并且k:Xo+YO一1兰_=_o_-_:M2.定值k叫做点M关于此(,即[(一。)z+)+(
6、y3一)。L’3一2椭圆0的幂,简称椭圆幂.(),。一2]×[(,一)+(),。一y2):]:[(。证明:我们先做一个从圆+),2=口到椭圆)z+(),一2]×[(,一2)+b2(一一2],+=1的仿射变换:—=;y---~y=_bDa化简得(一1)×(s一z)×(),一yo)=(一n01)×(戈1一。)×(,,3一y2).E面已证(y1一',n)×(一,)=(1一n)×(),3一Y2),那么就有(l—XtO)+(Yl—Y'o)(3一2)+(Y3一Y2)(1一X0)+(Y1一Yo)(3一2)+(y3一y2)=成立,图2—1
7、图2—2过平面上一个定点M(x。,Yo),任作一直线与圆日n√/(1一0)+(Y1一Y'o)交于A,两点(如图2—1),则与之对应的有过平面(3一2)+(y3一Y'2)12,t2上一个定点M(。,Y。)的直线与椭圆+=1=一^√√/(3一等2)+(y3一y2)=一眦风即cD=一交于A,两点,0C为平行于A的半径(如图2AB—,即圆经过压缩变换(沿),轴方向)后保持平行线2).由定理2知,从圆到椭圆的仿射变换中,平行段的长度比不变.线段的长度比不变即=,=,从而综上则有圆经过压缩变换(沿Y轴方向)以后M‘AxM’B一不仅仅是
8、保持直线的平行关系不变而且还保持平行02一D,C,‘线段的长度比不变.又由圆幂定理知MA×MB=D一口,那么两注1:这里就讨论a>b>0的情况,b>a>0边同除以口则有丝::一1即椭圆焦点在Y轴上时,可以看成是圆在横向上压缩得来的图形,有相似的结论.=一注2:点0和点0为圆和椭圆的中心,且中心都a等+辱
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