椭圆的光学性质及其应用.doc

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1、个人收集整理勿做商业用途椭圆的光学性质及其应用乌鲁木齐八一中学曹小玲椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上。如图1：证明：如图2，过点P做椭圆的切线l，焦点F1关于l的对称点F，则反射光线与FP在同一直线上.｜PF1

2、+｜PF2｜=

3、PF｜+

4、PF2｜≥｜FF2｜(当且仅当F、P、F2共线时“=”成立）即2a≥

5、FF2｜连FF2交椭圆于M,如图3，交l于P’,则｜MF1

6、+

7、MF2

8、=2a∵

9、MF1

10、≤

11、MF｜(M、P’重合时“=”成立，即P为切点）∴

12、2a≤

13、MF

14、+

15、MF2

16、≤｜FF2

17、∴2a≤｜FF2｜≤2a∴

18、FF2｜=2a此时F、P、F2共线,即反射光线过F2.由以上证明可知：若椭圆存在切线l，且F1关于l的对称点F，则｜FF2｜=2a应用:个人收集整理勿做商业用途1.已知：F1（—2，0)、F2（2，0）为焦点的椭圆与直线：x+y+4=0有且仅有一个交点，求椭圆的长轴长。解:由条件,椭圆与直线：x+y+4=0相切设F1（—2，0）关于l的对称点F（m，n）,切点为P,则F、P、F2共线由对称条件,F1F中点在l上，且F1F⊥l，∴从而，｜F

19、F2｜=｜PF

20、+｜PF2｜=

21、PF1

22、+｜PF2｜=2a2a=即长轴长2.2。电影放映机上的聚光灯泡的反射镜的轴截面是椭圆的一部分(如图所示），灯丝在焦点F2处，而且灯丝与反射镜的顶点A的距离｜F2A

23、=1.5cm,过焦点且垂直于轴的弦

24、BC｜=5。4cm，为了使电影机片门获得最强的光线,灯泡应安在距片门多远的地方？解析:据椭圆镜面的光学性质，从椭圆的一个焦点射出的光线经过椭圆反射后应聚焦在另一个焦点上,故片门应放在另一个焦点F1上，因此需要求出焦距。解：设焦距

25、F1F2

26、=2c，如图所示，知B(c，

27、2.7）,由椭圆的定义｜BF1

28、+

29、BF2｜=2｜OA

30、得：∴灯泡应安在距片门12米处.