用圆的几何性质解决椭圆问题.pdf

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1、用圆研究椭圆椭圆是高中数学中的重点和难点，原因在于它不像圆。圆上每一点到原点的距离都相等，并由此产生许多特别的性质，如垂径定理、切线长定理、圆周角定理等。而圆的这些定理就很难应用到椭圆上。如垂径定理、切线长定理，只能适用于椭圆的两个对称轴，而圆周角定理更是完全不适用。于是很多求线段长度、斜率大小、角度大小的题目，都只能通过复杂的数学运算来解决。如果能把椭圆变成圆，用圆的几何特性来解决椭圆的问题，将能使计算量大幅减少，不仅能节约大量宝贵的时间，还能提高解题的正确率。其实我们在计算机画图中早就接触到椭圆。我们都知道，圆是椭圆的一个特例。我们把圆拉伸便可得椭圆，把椭

2、圆沿着对称轴方向拉伸一定量，也可把椭圆变成圆。如果我们在解决椭圆的题目时候运用这种思想，把椭圆以及要计算的线段等一同拉伸，使椭圆变成圆，用圆的性质求出拉伸后要求线段的长度，再将拉伸复原，根据拉伸的比例计算线段实际的长度，这样便能很好地解决椭圆类的问题。下面，我将通过例子说明这种思想的运用。首先，我们从椭圆的定义开始研究。椭圆的定义是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a>

3、F1F2

4、）的动点P的轨迹。而圆的定义是到定点的距离等于常数r的动点P的轨迹。所以，我们便可以联想到，如果椭圆的两定点重合，那么就会是一个半径为a的圆了。而椭圆的第二定义是到定

5、点的距离和到定直线的距离之比恒等于常数e的动点P的轨迹。那么如果这个定点是圆的圆心，定直线在无穷远处，那么这个比值e就等于0。可见圆和椭圆有着不可分割才关系。椭圆的方程接着，我们来看椭圆的方程（假设长轴在x轴上）。椭圆的标准方程为：??2??2+=1??2??2而圆的标准方程为：??2+??2=??2两边同时除以??2得：??2??2+=1??2??2我们再看椭圆的参数方程：??=acos⁡??�??=??sin⁡??而圆的参数方程为：??=rcos??�??=rsin??可见，当椭圆长短轴相等时，就是一个圆了。椭圆的变换我们在如果想要把椭圆变成圆来研究，

6、要做的事情就是把坐标作拉伸变换，把椭圆拉伸成圆：??′=??�′??①??=????或者：′????=??�??②??′=??如果使用方式①，椭圆的标准方程就变成：22??′??′�??�??+=1??2??2即：22??′??′+=1??2??2而参数方程变成：??′=??cos⁡??�????′=??=??sin⁡????当然，其他直线和曲线也要作相应的变换。如果某条直线或曲线的一般方程为：????+????+??=0则要变换为：??????′+??�??′�+??=0??一般地，如果用方程??(??,??)=0来表示这条直线曲线，就要变换成：???

7、?�??′,??′�=0??如果在变换后的坐标中，通过圆的性质求得某线段长度??’，根据：????2????222??’=��??′−??′�+�??′−??′�=�(??−??)2+�??−??�=

8、Δ??

9、�1+��121212??1??2??而实际长度：??=�(??−??)2+(??−??)2=

10、Δ??

11、�1+??21212得：22�1+�????′�2√1+????√1+????=??’=??’=??’③2�1+k′2�1+k′2�1+�????�??k为直线在变换前坐标下的斜率，k’为变换后斜率，两者的关系为：??k′=????如果能在变换后的圆中

12、使用垂径定理、切线长定理，甚至切割线定理等求出线段长度，再通过式③换算求得原长，将使得计算变得简便。至于角度的计算，由于变换后会导致角度的改变，所以不能直接通过变换求得原来的角度。一般方法是先求得相关线段的原长或直线的斜率，再通过余弦定理等三角函数知识求得原来的角度。至于通过方式②变换的计算，也很容易推导，不再赘述。椭圆的面积根据这种思想，我们很容易得出椭圆的面积：通过方式①变换后，椭圆y轴方向上尺寸变为原来的a/b倍，面积为????2，??2??变换为原来坐标后，应该压缩，故面积为????⋅=??????，????所以椭圆面积为：??????椭圆的周长在一开

13、始，我通过思考猜测椭圆的周长公式为：22??=√2??�??+??推导过程如下：??2+??2故边长为半径为1的圆的边长的�倍，即：??=√2??√??2+??22但是，查阅百度百科上的资料，我才知道这是错误的，我继续思考，终于知道错误在哪里了。如果我把椭圆周长分成许多微小的直线段，通过微元法计算周长。在椭圆中，每一小段的斜率都不一样，由上式③得知，要将变换后圆的周长分割成的小线段转化为变换前的椭圆的小线段，每一个小线段的变换比例都因为k的不同而不一样，所以不能简单得得出椭圆的周长。但通过式③，我们可以为近似计算椭圆周长提供一种思路，就是把椭圆分成若干小段，近

14、似计算。相关例题下面列举几道运用这种思