用圆的几何性质解题.doc

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1、..用圆的几何性质解题圆是一个特殊的图形,它有许多重要的性质.在涉及到圆的有关问题时，若能抓住题设中圆的图形特征和数量关系，充分利用圆的有关几何性质，常常可得到简捷的解法.现举例说明如下：性质1“圆的弦的垂直平分线必过圆心”例1过点且圆心在直线上的圆的方程是.（01年全国高考题）分析：∵线段为所求圆的弦，由性质1知，点C为的垂直平分线与已知直线的交点，联立两直线方程组成方程组，解得.∴所求圆的方程为DxyOAF1C图1例2设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是.（98年全国高考题）分析：由图形的对称性，不妨设圆心在右支上.如图1，由条件知，线段

2、AF1为⊙C的弦，根据性质1，可得AF1的垂直平分线直线CD段，由题设知A、F1的横坐标分别为3、5，∴圆心C的横坐标为4，故圆心C的纵坐标为±，∴圆心C到双曲线的中心的距离为=.点评：以上两例的关键在于确定圆的圆心。根据题设已知圆的弦，由性质1，得圆心必在此弦的垂直平分线上.性质2“圆中90°的圆周角所对的弦是直径”QxyPOC1·图2例3设直线3x+4y+m=0与圆C1：x2+y2+x-2y=0相交于点P、Q两点，当m为何值时，OP⊥OQ？分析：如图2，因圆C1：x2+y2+x-2y=0过原点，则∠POQ是圆C1的圆周角，且为直角.由性质2，可知PQ为⊙C1的直径，即直线3x+4

3、y+m=0过⊙C1的圆心C1（-，1）即3×(-)+4×1+m=0∴m=-.点评：处理直线与圆的位置关系常用△法或几何法.本例由于直线与圆的交点和原点的连线互相垂直,且原点在圆上,由性质2,知为直径,从而得以上解法.性质3“圆中同一条弦所对的圆周角小于它所对的圆角”xyoABCDF1F2P图3例4椭圆的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值围是.（00年全国高考题）分析：以F1F2为直径作圆：,与椭圆联立，解得A、B两点的横坐标分别为-，.由性质2，知点P在椭圆的AB或CD弧线（在辅助圆）上时，∠F1PF2为钝角(如图3)，故点P的横坐标的取值围

4、是（-，）.......点评：本题看似与圆无关,但通过构作辅助圆,并利用其几何性质,让问题变得直观明了,便于求解.性质4“圆的弦心距垂直平分弦”性质5“圆心角的度数等于它所对弧的度数”性质6“弦心距、半弦、半径三者构成直角三角形”例5设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3︰1；③圆心到直线l：x-2y=0的距离为，求该圆的方程.（97年全国高考题）ODBAxyMN图4C分析：如图4，设圆M满足条件，它在y轴、x轴上截得的弦分别为AB、CD，设圆心M的坐标为（a,b），半径为r，则点M到x轴、y轴的距离分别为

5、b

6、、

7、a

8、，作MN⊥y轴于N，连AM，由性质

9、4，知N为AB的中点，由条件①，在Rt△AMN中，有：r2=a2+1（1）由条件②知，⊙M被x轴截得的劣弧度数为90°，由性质5，知∠CMD=90°，由性质6,得r2=2b2(2)又由条件③得，=(3)解(1)(2)(3)得或，于是r2=2b2=2故所求圆的方程为：(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2.点评：由以上几例可以看出，在解决圆的有关问题时，只要充分挖掘圆的几何性质，再将几何条件代数化，既可以迅速获得解题途径，又可以减少解析几何的运算量.....