幂等矩阵的相似标准型与分解形式

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1、第30卷第6期大庆师范学院学报V0I．30No．62010年11月JOURNALOFDAQINGNORMALUNIVERSITYNovember．2010幂等矩阵的相似标准型与分解形式董庆华，王成伟(北京服装学院基础教学部，北京100029)摘要：利用线性变换的方法研究了幂等矩阵的相似标准型，并在此基础上推导出了幂等矩阵的秩恰好等于它的迹，证明了任意n阶矩阵都可以分解为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵的乘积，任意一个幂等矩阵都可以分解为两个对称矩阵的乘积。关键词：幂等矩阵；矩阵秩；相似标准型；分解形式作者简介：董庆华(1976～)，男

2、，山东日照人，北京服装学院基础教学部教师，从事模糊数学及其应用研究。中图分类号：O15文献标识码：A文章编号：2095—0063(2010)06—0043—03收稿日期：2010—04—270引言在计量经济学中对于大多数经济现象进行比较静态分析的结果，都可以合理地归结为一个线性经济模型Ax=b，其中的系数矩阵A往往是一个幂等矩阵。为此，有必要对幂等矩阵展开理论方面的深入研究。定义1：设有It阶方阵满足A：A，则称方阵为幂等矩阵。显然，n阶零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵。关于幂等矩阵，目前已有一些结论，我们选择其中三个作为性质列举如

3、下：1)设有全矩阵I=(1)⋯则C=，是一个幂等矩阵⋯；2)若方阵是幂等矩阵，则B和一也是幂等矩阵；3)若It阶方阵A为幂等矩阵，则它的秩满足R(A)+(E—A)=n_3]。我们将首先以线性变换的方法来构造幂等矩阵的相似标准型，然后在此基础上研究幂等矩阵的秩和迹之间的关系，以及幂等矩阵在矩阵分解中的重要作用。l主要研究内容与结果1．1幂等矩阵的相似标准型对角矩阵可以认为是形式最简单的一种矩阵，对角矩阵的特征值就是其主对角线上的全部元素，对角矩阵的秩就等于主对角线上非零元素的个数。接下来我们以幂等矩阵的特征值为线索，探求幂等矩阵的

4、具有对角形式的相似标准型。定理1：若n阶方阵A为幂等矩阵，并且A的秩R(A)=r，则存在可逆矩阵P使得p-IAP：f＼E0r01／(1)证明：在凡维线性空问中任取一组基(，占，⋯)，定义线性变换在基(。，占：，⋯)下的矩阵为A，即(8l，2，。‘‘)=(l，2，⋯)A假设Ax：A，其中≠0，则由Ax=Ax=A=A，得=A，所以幂等矩阵特征值为1或0。由于矩阵A的秩R(A)=r，故A的n个特征值中有Ⅳ个1以及n—r个0，则其特征多项式：．厂(A)：(A一1)A⋯从而可以分解为特征子空间的和：43V=：①：o先在特征子空间：．={I

5、(A—E)=0，∈V}中任取一组基，，，⋯，然后在特征子空间：o={孝lA=0，∈V}中任取一组基卢，卢，⋯⋯，则，，⋯，卢，／3：，⋯⋯就是I厂的一组基，显然Al=Od1，A2=2，⋯Aot，=，卢1=0，2=0，⋯卢⋯=0。这就是说(l，OL2，⋯，OL，，卢1，卢2，⋯，卢一)=c，：，⋯，，卢，卢：，⋯，卢一()由于线性变换r，在不同基下的矩阵都是相似的，因此存在可逆矩阵P使得PAP=(三1，。rn此时，我们也称f1E001J为幂等矩阵A的相似标准型。值得指出的是，根据Hamih。一Cayly定理，线性空间可以分解为特征

6、子空间的和：V=：。①l，^：。其中：。恰好构成了线性空间的值域Imo-={lE}，而：。恰好构成了线性空间的核Kero"={I=0}。根据幂等矩阵的相似标准型，幂等矩阵可以具体分为以下三种类型，并且，其中除了单位矩阵，其他类型的幂等矩阵都是不可逆的。当r=0时，A：POP～=0，即为零矩阵；当r=11,时，A=PEP～=E，即A为单位矩阵；当。

7、即R(A)：rr(A)(2)证明：设为幂等矩阵，且其秩R(A)=r，则A存在可逆矩阵P使得p-iAP：＼00／1根据矩阵的秩的基本性质，可知R(A)=R(PAP)=r与此同时，考虑到矩阵的特征方程中特征根与系数的关系，可知Tr(A)=∑：∑A：r所以R()=rr(A)1．3幂等矩阵的分解形式众所周知，任意可逆n的阶实矩阵M都可以分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积：=Qr，其中Q为正交矩阵，为上三角矩阵。受此启发，我们来探究幂等矩阵在矩阵分解中的作用。定理3：任意n阶方阵的都可以分解为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵的乘积，即M=

8、KA(3)其中IKl≠0，A=A。证明：假设n阶方阵的秩R(M)=r，则存在可逆矩阵P与Q使得PMQ=(。E三))Q～=cPQQ()Q_。=cQP(三)QK(QP)一-，A：Qf＼0Er0IQ一／贝ⅡM：KA，其中lKI-l(QPl=：丌≠。A=QE)Q～·Q(