拉伸应力典型习题解析

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1、轴向拉压应力与材料的力学性能典型习题解析1　图示直杆截面为正方形，边长a=200mm，杆长L=4m，F=10kN，材料密度3ρ=20kN/m.考虑杆的自重，计算1-1和2-2截面轴力，并画轴力图。xL/4L/411110.8kNFN1L/43L/41.6kNyBB11.6kNFFL/4222212.4kNL/4FN2AAFN13.2kN(a)(b)(c)(d)题1图解题分析：杆的自重为体积力。当杆件重量与外载荷大小在同一数量级时，应考虑杆自重对内力、应力的影响。为画轴力图，要先计算一些特殊截面上的轴力，如集中力作

2、用的截面和A-A截面。解：1、计算1-1截面轴力：从1-1截面将杆截成两段，研究上半段。设截面上轴力为F，N1为压力（见图b），则F应与该杆段所受外力平衡。杆段所受外力为杆段的自重，大N1L2小为aρ，方向向下。于是由静力平衡条件∑Fy=0得4L2−FN1+aρ=04L24m33FN1=aρ=×0.2m×0.2m×20×10N/m=800N442、计算2-2截面轴力：从2-2截面将杆截成两段，研究上半段。设截面上轴力为F，N2为压力（见图c），则F应与该杆段所受外力平衡。杆段所受外力为杆段的自重和集中N23L2力

3、F，杆段自重为aρ，方向向下。于是由静力平衡条件∑Fy=0得463L233×4m333FN2=F+aρ=10×10N+×0.2m×0.2m×20×10N/m=12.4×10N=12.4kN443、计算集中力F作用截面上的轴力：首先将杆沿力F作用截面（B-B）上侧截开，设截面上轴力为压力F+，研究上半部分杆段。由于只受本身重量作用，所以由静力平NB衡条件得F作用截面上侧轴力为L24m2333F+=aρ=×(0.2m)×20×10N/m=1.6×10N=1.6kNNB22然后将杆沿F作用截面（B-B）下侧截开，设截面

4、上轴力为压力F−，研究上半部分NB杆段。这时杆段受本身重量作用和集中力F作用，所以由静力平衡条件得F作用截面下侧轴力为L24m23333F−=aρ+F=×(0.2m)×20×10N/m+10×10N=11.6×10N=11.6kNNB224、计算A-A截面轴力：从A-A截面将杆截开，设截面上轴力为压力F，则F应与该杆NANA2上所有外力平衡。杆所受外力为杆的自重和集中力F，杆段自重为Laρ，方向向下。于是由静力平衡条件∑Fy=0得23333FNA=F+Laρ=10×10N+4m×0.2m×0.2m×20×10N/

5、m=13.2×10N=13.2kN5、画轴力图：在坐标轴上标出特殊截面（杆的顶截面、集中力F作用截面的上下侧和A-A截面）处的轴力值，用直线连接即得轴力图（图d）。讨论：（1）从轴力图看出，集中力作用的截面两侧轴力发生突变。突变值就是该集中力的大小。（2）计算各截面轴力时，得到的轴力均为正值，这只说明真实轴力的方向与事先的假设（本题均假设为压力）一致，并不意味着计算出的轴力为拉力。32图示石柱桥墩，压力F=1000kN，石料密度ρ=25kN/m，许用应力[σ]=1MPa。试比较下列三种情况下所需石料体积。（1）等

6、截面石柱；（2）三段等长度的阶梯石柱；（3）等强度石柱（柱的每个截面的应力都等于许用应力[σ]）。解题分析：设计这样的桥墩时，要考虑桥墩自重对强度的影响。可以想象，在桥墩顶截面只有压力F作用，轴力最小；在桥墩底截面，除压力F外，还承受桥墩本身重量，该处轴力最大。当桥墩采用等截面石柱时，只要考虑底部截面的强度即可。如果采用阶梯型石柱，需考虑每段的强度。如果要求各个截面强度相等，则需要对石柱的各截面进行特别设计。解：1、采用等截面石柱7如图a所示，设石柱横截面面积为A，长为l，底部截面轴力最大，其值为FN=F+ρAl

7、强度条件为FNF+ρAlFσ===+ρl≤[σ]AAA3F1000×10N2于是得A===1.6m[σ]−ρl1×106N/m2−25×103N/m3×15mFFF5mx[σ]15m5mdxρA(x)dx5m[σ](a)(b)(c)(d)题2图23所用石料体积V1=Al=1.6m×15m=24m2、采用三段等长度的阶梯石柱结构如图b所示，按从上到下顺序，设各段横截面面积和长度分别为A,l，A,l和1122A,l。显然，各阶梯段下端截面轴力最大，分别为33FN1=F+ρA1l1,FN2=F+ρA1l1+ρA2l2,

8、FN3=F+ρA1l1+ρA2l2+ρA3l3由石柱的各段均应满足强度条件，于是得3F1000×10N2A1===1.14m[σ]−ρl11×106N/m2−25×103N/m3×5m3332F+ρA1l11000×10N+25×10N/m×1.14m×5m2A2===1.31m[σ]−ρl21×106N/m2−25×103N/m3×5mF+ρA1l1+ρA2l2A3=[