材料力学应力应变状态典型习题解析

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1、应力、应变状态分析典型习题解析1已知矩形截面梁，某截面上的剪力FS=120kN及弯矩M=10kN⋅m。绘出表示1、2、3及4点应力状态的微体，并求出各点的主应力。b=60mm，h=100mm。M=10kN·mσ3τb11250mm中性轴h2σσ1325mmτ344FS=120kN题1图解题分析：从图中可分析1、4点是单向应力状态，2点在中性轴上为纯剪切应力状态，3点微体上既有正应力又有切应力。解：1、画各点处微体的应力状态图取平行和垂直与梁横截面的六个平面，构成微体。则各点处的应力状态如图示。2、计算各点处主应力3−3−334bh60×10×(1

2、00×10）m−84梁截面惯性矩为Iz===500×10m12121点处弯曲正应力（压应力）−3−3My10×10N⋅m×50×10m6σ===100×10Pa=100MPa−84I500×10mz1点为单向压缩受力状态，所以σ1=σ2=0，σ3=−100MPa33×120×10N62点为纯剪切应力状态，τ==30×10Pa=30MPa（向下）−622×60×100×10m容易得到，σ1=30MPa，σ2=0，σ3=−30MPa3点为一般平面应力状态3−3My10×10N⋅m×25×10m6弯曲正应力σ===50×10Pa=50MPa−84I50

3、0×10mz弯曲切应力1*3−93FSSz120×10N×60×25×37.5×10m6τ===22.50×10Pa=22.5MPa−3−84bI60×10m×500×10mzσσ+σσ−σmaxxyxy22=±()+τxσ22min6658.6MPa50×10Pa50×10Pa262=±()+(22.5×10Pa)=22−8.6MPa所以σ1=58.6MPa，σ2=0，σ3=−8.6MPa4点为单向拉伸应力状态，拉伸正应力的大小与1点相等。所以4点的主应力为σ=100MPa，σ=σ=01232试求图示微体斜截面上的应力，主应力及其方位，并求最大

4、切应力。yσ220MPa40MPaxo22.5o3010MPa图2a解题分析：所要计算的斜截面外法线与x轴的夹角α为正60。斜截面应力计算公式中，α角正负号规定为自x轴正向逆时针转向外法线为正。解：1、计算斜截面上应力选取xy坐标系，如图示。则该微体各应力为σ=40MPa，σ=20MPa，τ=10MPaxyxaα=60斜截面上的应力为σ+σσ−σxyxyσ=+cos2α−τsin2ααx22（40+20）MPa（40−20）MPaaa=+cos120−10MPasin120=16.3MPa222σ−σxyτ=sin2α+τcos2ααx2（40−

5、20）MPaaa=sin120+10MPacos120=3.66MPa22、计算主应力及其方位σ+σσ−σxyxy22σ=±()+τmaxxmin22（40+20）MPa（40−20）MPa22⎧44.1MPa=±()+（10MPa）=⎨22⎩15.9MPa所以主应力为σ1=44.1MPa，σ2=15.9MPa，σ3=0τx由公式tanα=−得0σ−σxminτx10MPaaα=arctan(−)=arctan(−)=−22.50σ−σ40MPa−15.9MPaxmina所以主应力σ对应的方位为−22.5。13、计算最大切应力σ1−σ344.1M

6、Pa−0τmax===22.1MPa222τxaa讨论：当采用公式tan2α0=−计算时，得α0=−22.5或α0=67.5。这时往往不σ−σxya能直观判定方位角α0=−22.5对应的是σ1的方位或是σ2的方位。采用公式ττxxtanα=−或tanα=−计算时，可以避免这一问题。00σ−σσ−σxminmaxy3自受力构件内取一微体，其上承受应力如图a所示，τx=σ/3。试求此点的主应力及主平面微体。σaaττyτxτσxxσ/3σ/3o60o60cbdbσσσ(a)(b)(c)题3图3解题分析：本题微体为一三角体。为使用极值应力计算公式，应首

7、先建立直角坐标系并确定σ、σ和τ。微体处于静力平衡状态，所以从其上切取的任何一块也应处于静力平衡状态。xyx在建立直角坐标系后，利用上述关系可计算出σ、σ和τ。xyx解：从三角形微体中取出一直角三角形adb，并建立直角坐标系，如图b所示。图b中，a∠adb=90，并用Aab表示ab斜面面积。设在ad截面上设正应力为σx、切应力为τx。当将微体abc从中间竖直切开后，由于左右对称性，所以截开面ad上的剪应力必为零，即τ=0。由x剪应力互等定理知db边上切应力也为零。所以，可以确定ad面和db面即是该点的主平面。由于直角三角形adb微体处于平衡状态，

8、于是有aa∑Fx=0，τAabsin30+σxAabcos30=0，得σx=−τ/3=−σ/3(压)所以该点处主应力为σ=σ，σ=0，σ