9 应力状态及应变状态分析

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1、9应力状态及应变状态分析通过对前几章的讨论，我们已经了解了杆件在基本变形时横截面上的应力情况。实际上一点的应力情况除与点的位置有关以外，还与通过该点所截取的截面方位有关。为了讨论一点在不同截面上的应力情况，为讨论组合变形打下一定的理论基础，本章介绍：应力状态、应变状态的概念；应力状态、应变状态分析；复杂应力状态下一点的应力与应变的关系——广义虎克定律，复杂应力状态下的变形比能。在此基础上介绍强度理论的概念及常用的四种强度理论。9.1应力状态的概念9.1.1一点处的应力状态受力构件内任意一点、在不同方位各个截面上的应力

2、情况，称为该点处的应力状态。判断一个受力构件的强度，必须了解这个构件内各点处的应力状态，即了解各个点处不同截面的应力情况，从而找出哪个点、哪个面上正应力最大，或剪应力最大。据此建立构件的强度条件，这就是研究应力状态的目的。9.1.2通过单元体分析一点的应力状态如上所述，应力随点的位置和截面方位不同而改变，若围绕所研究的点取出一个单元体（如微小正六面体），因单元体三个方向的尺寸均为无穷小，所以可以认为：单元体每个面上的应力都是均匀分布的，且单元体相互平行的面上的应力都是相等的，它们就是该点在这个方位截面上的应力。所以，

3、可通过单元体来分析一点的应力状态。图9.1应力状态的一般情况和已知三个主应力的应力状态9.1.3主应力及应力状态的分类包括受力构件内的某点，所截取出的单元体，一般来说，各个面上既有正应力，又有剪应力（图9.1a）。以下根据单元体各面上的应力情况，介绍应力状态的几个基本概念。①主平面如果单元体的某个面上只有正应力，而无剪应力，则此平面称为主平面。②主应力主平面上的正应力称为主应力。③主单元体若单元体三个相互垂直的面皆为主平面，则这样的单元体称为主单元体。可以证明：从受力构件某点处，以不同方位截取的诸单元体中，必有一个单

4、元体为主单元体。主单元体在主平面上的主应力按代数值的大小排列，分别用，和表示，即（图9.1b）。④应力状态的类型若在一个点的三个主应力中，只有一个主应力不等于零，则这样的应力状态称为单向应力状态。若三个主应力中有两个不等于零，则称为二向应力状态或平面应力状态。若三个主应力皆不为零，则称为三向应力状态或空间应力状态。单向应力状态也称为简单应力状态。二向和三向应力状态统称为复杂应力状态。关于单向应力状态，已于第二章中进行过讨论，本章将重点讨论二向应力状态。图9.2直杆轴向拉伸时杆内任一点的应力状态9.2应力状态的实例9.

5、2.1直杆轴向拉伸时的应力状态直杆轴向拉伸时（图9.2a），围绕杆内任一点A点以纵横六个截面取出单元体（图9.2b），其平面图则表示在图9.2c中，单元体的左右两侧面是杆件横截面的一部分，其面上的应力皆为。单元体的上、中、前、后四个面都是平行于轴线的纵向面，面上皆无任何应力。根据主单元体的定义，知此单元体为主单元体，且三个垂直面上的主应力分别为围绕A点也可用与杆轴线成的截面和纵向面截取单元体（图9.2d），前、后面为纵向面，面上无任何应力，而在单元体的外法线与杆轴线成的斜面上既有正应力又有剪应力（见第二章）。因此，这

6、样截取的单元体不是主单元体。由此可见，描述一点的应力状态按不同的方位截取的单元体，单元体各面上的应力也就不同，但它们均可表示同一点的应力状态。9.2.2圆轴扭转时，轴的表面上任一点A的应力状态图9.3受扭圆轴表面点A的应力状态围绕圆轴上A点（图9.3a）仍以纵横六个截面截取单元体（图9.3b）。单元体的左、右两侧面为横截面的一部分，正应力为零，而剪应力为由剪应力互等定理，知在单元体的上、下两上，有。因为单元体的前面为圆轴的自由面，故单元体的前、后面上无任何应力。单元体面受力如图9.3（c）所示。由此可见，圆轴受扭时，

7、A点的应力状态为纯剪切应力状态。进一步的分析表明（见本章例9.1）若围绕着A点沿与轴线成的截面截取一单元体（图9.3d），则其斜截面上的剪应力皆为零。在外法线与轴线成的截面上，有压应力，其值为。在外法线与轴线成的截面上有拉应力，其值为。考虑到前、后面两侧面无任何应力，故图9.3（d）所示的单元体为主单元体。其主应力分别为可见，纯剪切应力状态为二向应力状态。9.2.3圆筒形容器承受内压作用时任一点的应力状态图9.4薄壁圆筒承受内压时，壁上任一点A的应力状态分析当圆筒形容器（图9.4a）的壁厚t远小于它的直径D时（例如，

8、），称为薄壁圆筒。若封闭的薄壁圆筒承受的内压力为p，则沿圆筒轴线方向作用于筒底的总压力为P（图9.4b），且薄壁圆筒的横截面积为，因此圆筒横截面上的正应力为（9.1）用相距为l的两个横截面和通过直径的纵向平面，从圆筒中截取一部分（图9.4c）。设圆筒纵向截面上的内力为N，正应力为，则取圆筒内壁上的微面积。内压p在微面积上的压力为。它在方向的投影