9 应力状态及应变状态分析

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1、9应力状态及应变状态分析通过对前几章的讨论,我们已经了解了杆件在基本变形时横截面上的应力情况。实际上一点的应力情况除与点的位置有关以外,还与通过该点所截取的截面方位有关。为了讨论一点在不同截面上的应力情况,为讨论组合变形打下一定的理论基础,本章介绍:应力状态、应变状态的概念;应力状态、应变状态分析;复杂应力状态下一点的应力与应变的关系——广义虎克定律,复杂应力状态下的变形比能。在此基础上介绍强度理论的概念及常用的四种强度理论。9.1应力状态的概念9.1.1一点处的应力状态受力构件内任意一点、在不同方位各个截面上的应力

2、情况,称为该点处的应力状态。判断一个受力构件的强度,必须了解这个构件内各点处的应力状态,即了解各个点处不同截面的应力情况,从而找出哪个点、哪个面上正应力最大,或剪应力最大。据此建立构件的强度条件,这就是研究应力状态的目的。9.1.2通过单元体分析一点的应力状态如上所述,应力随点的位置和截面方位不同而改变,若围绕所研究的点取出一个单元体(如微小正六面体),因单元体三个方向的尺寸均为无穷小,所以可以认为:单元体每个面上的应力都是均匀分布的,且单元体相互平行的面上的应力都是相等的,它们就是该点在这个方位截面上的应力。所以,

3、可通过单元体来分析一点的应力状态。图9.1应力状态的一般情况和已知三个主应力的应力状态9.1.3主应力及应力状态的分类包括受力构件内的某点,所截取出的单元体,一般来说,各个面上既有正应力,又有剪应力(图9.1a)。以下根据单元体各面上的应力情况,介绍应力状态的几个基本概念。①主平面如果单元体的某个面上只有正应力,而无剪应力,则此平面称为主平面。②主应力主平面上的正应力称为主应力。③主单元体若单元体三个相互垂直的面皆为主平面,则这样的单元体称为主单元体。可以证明:从受力构件某点处,以不同方位截取的诸单元体中,必有一个单

4、元体为主单元体。主单元体在主平面上的主应力按代数值的大小排列,分别用,和表示,即(图9.1b)。④应力状态的类型若在一个点的三个主应力中,只有一个主应力不等于零,则这样的应力状态称为单向应力状态。若三个主应力中有两个不等于零,则称为二向应力状态或平面应力状态。若三个主应力皆不为零,则称为三向应力状态或空间应力状态。单向应力状态也称为简单应力状态。二向和三向应力状态统称为复杂应力状态。关于单向应力状态,已于第二章中进行过讨论,本章将重点讨论二向应力状态。图9.2直杆轴向拉伸时杆内任一点的应力状态9.2应力状态的实例9.

5、2.1直杆轴向拉伸时的应力状态直杆轴向拉伸时(图9.2a),围绕杆内任一点A点以纵横六个截面取出单元体(图9.2b),其平面图则表示在图9.2c中,单元体的左右两侧面是杆件横截面的一部分,其面上的应力皆为。单元体的上、中、前、后四个面都是平行于轴线的纵向面,面上皆无任何应力。根据主单元体的定义,知此单元体为主单元体,且三个垂直面上的主应力分别为围绕A点也可用与杆轴线成的截面和纵向面截取单元体(图9.2d),前、后面为纵向面,面上无任何应力,而在单元体的外法线与杆轴线成的斜面上既有正应力又有剪应力(见第二章)。因此,这

6、样截取的单元体不是主单元体。由此可见,描述一点的应力状态按不同的方位截取的单元体,单元体各面上的应力也就不同,但它们均可表示同一点的应力状态。9.2.2圆轴扭转时,轴的表面上任一点A的应力状态图9.3受扭圆轴表面点A的应力状态围绕圆轴上A点(图9.3a)仍以纵横六个截面截取单元体(图9.3b)。单元体的左、右两侧面为横截面的一部分,正应力为零,而剪应力为由剪应力互等定理,知在单元体的上、下两上,有。因为单元体的前面为圆轴的自由面,故单元体的前、后面上无任何应力。单元体面受力如图9.3(c)所示。由此可见,圆轴受扭时,

7、A点的应力状态为纯剪切应力状态。进一步的分析表明(见本章例9.1)若围绕着A点沿与轴线成的截面截取一单元体(图9.3d),则其斜截面上的剪应力皆为零。在外法线与轴线成的截面上,有压应力,其值为。在外法线与轴线成的截面上有拉应力,其值为。考虑到前、后面两侧面无任何应力,故图9.3(d)所示的单元体为主单元体。其主应力分别为可见,纯剪切应力状态为二向应力状态。9.2.3圆筒形容器承受内压作用时任一点的应力状态图9.4薄壁圆筒承受内压时,壁上任一点A的应力状态分析当圆筒形容器(图9.4a)的壁厚t远小于它的直径D时(例如,

8、),称为薄壁圆筒。若封闭的薄壁圆筒承受的内压力为p,则沿圆筒轴线方向作用于筒底的总压力为P(图9.4b),且薄壁圆筒的横截面积为,因此圆筒横截面上的正应力为(9.1)用相距为l的两个横截面和通过直径的纵向平面,从圆筒中截取一部分(图9.4c)。设圆筒纵向截面上的内力为N,正应力为,则取圆筒内壁上的微面积。内压p在微面积上的压力为。它在方向的投影

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