拉伸变形典型习题解析

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1、轴向拉压变形典型习题解析1图示结构，杆AB和BC拉压刚度EA相同，在节点B处承受集中力F，试求节点B的水平及铅垂位移。C2o145ABaaF(a)FN2oFN1B45B∆l1∆l2B1B2Fo45B＇B3(b)(c)题1图解题分析：本题为静定问题。由静力平衡方程确定各杆轴力后，计算各杆轴向变形。最后用“切线代圆弧”方法，确定节点B的新位置，计算节点B的水平及铅垂位移。解：1、计算各杆的轴力：设AB杆和BC杆轴力分别为F、F，且均为拉力，则B点的N1N2静力平衡方程为∑Fx=0,FN2cos45°−FN1=0∑Fy=0,FN2sin45

2、°−F=0解得FN1=FFN2=2F2、计算AB，BC杆变形21FlFaN11AB杆变形：∆l==(伸长)1EAEAFN2l2(2F)(2a)2FaBC杆变形：∆l===(伸长)2EAEAEA3、求节点B的位移：将AB延长∆l到B点（见图c），CB延长∆l到B点。分别以A、1122C为圆心，AB、CB为半径画圆弧，两圆弧相交于一点，该点就是变形后B点的新位置。12但在小变形条件下，可以用切线代替圆弧。所以确定B点新位置的简便做法是：从B、B12点分别作AB1、CB2的垂线，两条垂线的交点就是变形后B点的新位置，即B3点。为方便'计算，

3、另作辅助线BB。从图c的几何关系容易计算出FaB点水平位移∆Bx=BB1=∆l1=(→)EA∆l2FaFaFa∆=BB'=2+∆ltan45°=2(+=+↓B点铅垂位移)(122)()By1sin45°EAEAEA422图示结构AD段为钢杆，横截面面积A1=2×10mm，弹性模量E1=210GPa，DB段为42铜杆，横截面面积A2=1×10mm，弹性模量E2=100GPa，F=1000kN，试求上、下端反力及各段横截面上的应力。解题分析：本题有两个未知反力，有效平衡方程只有一个，为一度静不定问题。首先应列出静力平衡方程和变形协调方程，

4、以确定各段轴力的大小，然后再计算各段中应力。解：1、静力平衡方程F1在F力作用下，AC段受拉，CD、DB段受压，可设上端截面A钢a约束反力为拉力CF1，下端截面约束反力为压力F2，它们的方向如图示。aF于是杆AB的静力平衡方程D铜2aF1+F2−F=0(a)B2、变形协调方程：静不定问题需要补充方程才能确定各力。补F2充方程一般从变形协调条件中寻找。本题中，由于A、B两端的题2图约束，AB段的总变形为零，此即变形协调条件。设AC、CD、DB段变形分别为∆l，∆l和∆l，则有ACCDDB∆l−∆l−∆l=0(b)ACCDDB3、利用物理

5、关系，用力表示变形协调方程22容易确定AC、CD、DB段的轴力分别为F1、F2、F2。由胡克定律知FaFaF2a122∆l=，∆l=，∆l=ACCDDBEAEAEA111122F1⋅aF2⋅aF2⋅2a代入（b）式，得到−−=0(c)E1A1E1A1E2A2F1−F22F2−=09−429−42210×10Pa×200×10m100×10Pa×100×10mF1=9.4F2(d)4、联立求解：联立式(a)、式(d)，解得上端反力：F1=904kN(拉)下端反力：F2=96kN(压)5、计算各段杆中的应力3F1904×10N6σAC==

6、=45.2×10Pa=45.2MPa(拉)A200×10−4m213F296×10N6σCD===4.8×10Pa=4.8MPa(压)A200×10−4m213F296×10N6σDB===9.6×10Pa=9.6MPa(压)A100×10−4m22讨论：如果开始时假设AC、CD、DB段轴力均为拉力，则式（a）变为F−F−F=0，式12（b）变为∆lAC+∆lCD+∆lDB=0，求解后F1=904kN，F2=−96kN，与前面结果一致。所以，在列变形协调方程时，要注意变形与引起变形的力的方向一致，否则容易出错。3图示支架承受载荷F=1

7、0kN。1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积分别为222A=100mm，A=150mm和A=200mm。试求各杆的轴力。123解题分析：本题未知力为3根杆的轴力，而有效平衡方程只有两个，为一度静不定问题，需要补充一个变形协调方程，才能确定各杆轴力。解：1、列静力平衡方程设1、2杆受拉，3杆受压，它们的轴力分别为F、F和F，研究A点平衡，得N1N2N323aa∑Fx=0，FN1cos30+FN2=FN3cos301或3FN1+2FN2=3FN3(a)OF302aaA∑Fy=0，FN1sin30+FN3sin30=F30O或FN1

8、+FN3=2F(b)32、列变形协调方程l为找到各杆变形之间的几何关系，关键是画(a)F出变形图。画法如下：首先根据直观判断画出FN130O变形后A点的位置A'；画1、2杆的延长线（因FN2A30O为1、2杆受拉伸长）；