一类更细的正项级数审敛原则

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1、第24卷第1期华∀东∀交∀通∀大∀学∀学∀报Vol.24∀No.12007年2月JournalofEastChinaJiaotongUniversityFeb.,2007文章编号:1005-0523(2007)01-0149-07一类更细的正项级数审敛原则刘丽君(湖南冶金职业技术学院基础课部,湖南株洲412000)1摘要:以一组收敛速度更慢的级数
k-1(p为常数,kN+,lan(i,n)=lnln!ln为标准,在对数判别法、n=1p
lan(i,n)lan(k,n)i个lni=0Rabbe判别法和Gauss判别法的基础上建立

2、起一类更强、更精细的审敛原则;同时随常数k的增大,该级数敛散更慢,以此为基的审敛法就越强、越细、越精,能判定敛散的级数范围也越宽,而k是可以无限增大的,使得新的判别法在理论上可以判别绝大部分级数的敛散性.关∀键∀词:正项级数;收敛速度;审敛准则中图分类号:0173.1∀∀∀∀∀∀文献标示码:A的级数;如果标准级数敛散得较慢,以它为基的判别∀∀我们知道一个收敛级数
un趋于它的和S的n=1法就会更灵敏,判别敛散的级数范围也越广.如:级快慢,就是它的余项rn趋于0的快慢,那么对于两1n数
r(01)的

3、收敛速度比
n=1nn=1个级数
un、
vn、收敛速度的比较就是看它们的n=1n=1p1ynp余项rn和Rn趋于0的快慢,即考察limn的值.若nn#r敛速度慢(limn=0,p>1,01)的Rabbe判别法、对数判别法和Gaussn#Rnn=1n=1n#Rnpn=1nrn,则称
un比
vn收敛速度慢.而lim=lim判别法就比基于几何级数
rn(0

4、tolz定理sn-sn-1unAlembert比值判别法和Cauchy根式判别法要强,判lim=lim,所以两个级S-Snn#Sn-Sn-1n#vn别范围也越广.因此,如果我们能找到收敛速度更慢数收敛速度的比较即为考察两级数通项的比值的极的级数作为比较标准,就能建立更强、更细和更精的限.如果两个级数发散的话,它们的余项趋于无穷判别法.rnrnrn11大,同样有lim=lim,若lim=0,称
un比作级数串
p、
p、
n#Rnn#vnn#vnn=1n=1n(lnn)n=1nlnn(lnlnn)n=1r

5、n1
vn发散速度慢;若lim=,则称
un比
vnp、!!、
n=1n#Rnn=1n=1nlnn%lnlnn%(lnlnlnn)n=1发散速度快.1k-1、!!(p为常数,kN+,lan一个正项级数审敛性判别法的强弱与它建立时
lan(i,n)lan(k,n)pi=0所基于的标准级数的敛散速度有关:标准级数敛散(i,n)=lnln!lnn),根据Cauchy积分判别法,级数得快,以它为基的判别法就只能判别比它敛散更快i个ln收稿日期:2006-12-16作者简介:刘丽君(1968-),女,湖南怀化人,硕士,讲师,研究方向:

6、数学教育和基础数学.150华∀东∀交∀通∀大∀学∀学∀报2007年11
k-1与积分我们以较级数
p(p>1)收敛得更慢的级数n=1pn=1n
lan(i,n)lan(k,n)i=01+dx
p(p>1)为标准级数,得到下面的定理:n=1n(lnn)&k-1(N是一个使lan(k,N)为N
lan(i,x)lan(k,x)pln(1/nan)i=0定理1.1∀正项级数
an,若lim=n=1n#lnlnn+dx正数的常数)同敛散,而&k-1,则Np
lan(i,x)lan(k,x)i=01)当>1时,级数
a

7、n收敛;n=11-p+,p∋1lan(k,x)+=

8、N=1,2)当<1时,级数
an发散.1-p,p>1n=1p-1(p-1)lan(k,N)证∀1)当>1时,
1(使1<1<),N所以,当p>1时,级数(NN+),当n>N时,有1
k-1收敛,该级数串是收敛的;ln(1/(nan)n=1p>1,即:ln1/(nan)>1lnlnn=ln
lan(i,n)lan(k,n)lnlnni=0111当p∋1时,级数
(lnn)1,an<,而
(1>1)收n=1k-1是发散n(lnn)1n=1n(ln

9、n)1p
lan(i,n)lan(k,n)i=0敛,故
an收敛.的,该级数串是发散的.n=1k-12)当<1时,N(NN+),当n>N时,有p1/
lan(i,n)lan(k,n)i=0ln1/(nan)11又由于limk<1,即:ln