任意三角形内接正三角形

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1、任意三角形內接正三角形高中組　第三名縣　市：新竹市校　名：新竹高中作　　者：劉瑋指導教師：儲啟政我是一個喜歡思考的人，無論是對於自然科學或是人文科學都有著濃厚的興趣。由於父母都是老師，所以在這樣一個書香家庭薰陶之下，養成我對學問的嚴謹態度，也使得我求學的過程都滿順利的。或許是在風城-新竹長大，使我帶有幾分不羈的個性，不喜歡受到俗套的限制，喜歡有創意的想法，因此和有創意的人在一起談天、聽朋友談論新奇的點子是我最愉快的事。而當沒有朋友在身邊的時候，我並不會感到寂寞，因為獨處正是我的觀察力、想像力、思考力能盡情發揮的時候，往往一些重要的發現、心得都是在這樣的情況下產生的。我想求學嚴謹、喜

2、歡創新以及不怕孤獨正是引領我走在科學研究這條路上的重要條件，也特別感謝在這一路上總有許許多多的貴人，在我遭遇困難時出手相助，給予我持續走下去的動力。參加科展實在是我人生中一項寶貴的經歷。一、研究動機曾經看過這樣的題目：「給定一任意三角形，分別於三角形的三邊上各任取一點，連接這三點，形成一個內接三角形。試問在什麼條件下，此內接三角形的周長發生最小值？」當然這個問題已經有了答案，然而這問題不禁使我想到，如果改變命題，將「內接三角形」改成「內接正三角形」，那麼又會是什麼情況呢？二、研究目的給定一任意三角形，分別於此三角形三頂點對邊的直線上，各取一點，使這三點的連線形成一個內接正三角形。研

3、究內接正三角形的性質。三、研究過程紙、筆、尺、圓規、電腦四、研究重點(一)、討論三角形內接正三角形是否存在。並研究如何用尺規作圖作三角形的內接正三角形？(二)、研究三角形內接正三角形的性質。五、結果與證明(一)給定一任意，於內部作一小正，其中點在上，點在上。並作交於E點。再分別於和上各取一點D、F，使得、，如圖1：圖1此時，即為的一個內接正三角形。又當改變的位置時，的位置也會隨著變動，故知給定一任意，可作內接正三角形。我們又發現用類似的方法作圖，可以於三邊、、的延長線上各取一點D、E、F為頂點作一正三角形，而D、E、F這三點卻不在、、上。為了以下討論方便，避免受到範圍的限制，我們定

4、義：廣義的內接正三角形的三頂點D、E、F可在三邊、、的延長線上變動，且此時的亦可簡稱為的內接正三角形。由上述結果可知，給定任意，可作內接正三角形。那麼，在任意的某一邊的直線上任取一點，如何作以此點為一頂點的內接正三角形呢？作法0在中，設D點為某一內接正三角形在上的一頂點，以D點為中心將整個圖形順時鐘旋轉60，形成一個新的()。令和的交點為E。於上取一點F，使，則即為以D點為一頂點的一個內接正三角形，如圖2-1：圖2-1證明在和中，O1.由於是由以D點為中心順時針旋轉60所得，故且。2.，，故。3.由上述二點知：(ASA全等性質)，所以，又已知，故為正三角形。經過觀察，我們發現以上的

5、一點D作為頂點的內接正三角形的有兩類，一類就是上述的，另外一類作法如下：作法0在中，設D點為某一內接正三角形在上的一頂點，以D點為中心將整個圖形順時鐘旋轉60，形成一個新的()。令和的交點為。於上取一點，使=，則即為以D點為一頂點的一個內接正三角形，如圖2-2：圖2-2(證明方法與同向內接正三角形類似，在此不加贅述)上述這兩類正三角形，E點與點皆在上，F點與點皆在上，而它們的差異在於三頂點D、E、F的排列方向與三頂點A、B、C的排列方向同向（如圖2-1，皆為逆時鐘）；而三頂點D、、的排列方向與三頂點A、B、C的排列方向反向（如圖2-2，為順時鐘）。為了方便起見，以下稱這類的正三角形

6、為同向正三角形，稱這類的正三角形為反向正三角形。(二)有了上述的結果，就可以利用GSP系統作圖，如圖3：圖3其中為給定的任意三角形，而為其同向內接正三角形，為其反向內接正三角形。D點的位置在上變動，此時和也會隨之變化。經由觀察，我們獲得了一個驚人的性質：「一給定的任意，所有同向內接正三角形的中心構成一條直線，所有反向內接正三角形的中心也構成一條直線，這兩條直線互相平行，且皆與的尤拉線垂直。」證明如下：建立一個複數座標系，如圖4-1：圖4-1其中為給定的任意三角形，為其同向內接正三角形，I點為的中心。令A點座標為、B點座標為0、C點座標為1，並設、、，其中為a、b定數為變數，、會隨著

7、值而變化。則D點座標為、E點座標為、F點座標為。故知，。由於，故，即，乘開之後，等號左右的實部對應實部，虛部對應虛部，得到：實部：---------------------------->1式虛部：------------------------->2式將1、2式整理得：1式：------------------------------->3式2式：------------------------->4式，交叉相乘再經整理得：，於是得到了與之間的關係式。另將1、2式整