问题之解何处来

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1、万方数据2015年第54卷第1期数学通报41问题之解何处来徐章韬陈传理(华中师范大学数学与统计学学院430079)l引言问题和解是数学的重要特征之一．对竞赛数学而言，问题之解的意义更为突出．问题之解从何而来?在前面的文献[卜幻中，我们论述了竞赛数学和常规教学的关系：在吃透了课堂教学内容的基础上也能产生教学上的见解，这些见解也能用之于竞赛数学的问题之解．基于以上实践，我们有理由相信，要真正做好竞赛数学，离不开对课程内容的教学解读，在做好课程内容教学解读的基础之上，能够理清竞赛数学的逻辑脉络，并产生一些好的问题解决之法．本文以复数为例，来谈谈上述主张．2深

2、刻解读课程内容。问题之解此中来关于复数的教育意义，及其教学解读在文献[3-43中有体现．上述见解要形成一个系统，用以应对竞赛数学的问题还需进一步对课程内容进行深刻的解读．下面以复数课程的教育教学价值为线索，阐明问题解决之道来自何处．2．1复数之源：方程思想显威力复数源于解三次方程的求根问题，意大利数学家邦贝利用~／一1使无意义的数变得有意义了，这标志着复数的产生．[61这就是复数的源头．在进行竞赛数学的教学时，要精心选择习题反映上述事实，并用方程的思想和观点解决之．例1方程z10+(13z～1)10—0有10个复根r1，百，r2，万，r3，万，r4，百

3、，r5，再，其中巧是ri的三1共轭复数，求≥：—三的值．三五，{，t分析与解解析几何中有一招叫“设而不求”，这招也可以迁移至此．由z10+(13z一1)10／～、10=o，得(南)2—1，记3，10=一1的十个复数分别是∞：，石(i一1，2，3，4，5)，则再三一∞。或1JZ——1面(i一1，2，3，4，5)，它们都是一次方程，不妨设两鲁一∞：，则南一面，由此推知t2再与，或百=再兰．这样∑上一5×170两再’或^2两i可’运秤刍焉一bx“u一13y((u：+石)=850．百用这种似拙实巧的方法还可以顺利解决1987年高考复数题．设复数2，和z。满足关

4、系式2，瓦+Az。+A瓦一o，其中A为不等于。的复数．证明：(1)z，+Az。+A1一IA2；㈤鬻一I搿

5、．把z。看作未知量，解出来，代入(1)(2)的两边，即可证得．例2设z是1的7次方根，z≠1，求z+z2+z4的值．分析与解初见此题，我们不知如何解．回想初中，有这样的习题：已知z=√2—1，求z3+z+2的值．我们是这样处理的．由z一√2—1，有(z一1)2=2，即z2—2z一1一O，然后用z2—2z一1除一+z+2，得到z3+z+2=(z+2)(z2—2z一1)+6z+4，然后代人z的值，即可求得．上述做法的精髓是充分利用多项式的性质．复数源于

6、方程，方程其实就是多项式，故复数与多项式方程有着千丝万缕的联系，基于此，我们用方程的思想观点来解此题．令z—z+z2+z4，则z2一z2+z4+z8+2∥+225+226，利用复数单位数根的性质有，z2一z+z2+z4+2(z3+z5+26)万方数据42数学通报2015年第54卷第1期一z+2(1+z+z2+23+≯+z5+z6)一2(1+z+22+z4)，1f．整理得，zz+z+2=o，解得z一二与拿坐．厶此题还有其它解法，如用对偶法，令A一2+z2+z4，B—z3+z5+26，也能解决之．然而，如何要如此用对偶法，上述解法也能给出合理的解释．上面是

7、解方程，构造方程解决问题．根与系数的关系，是方程研究的重要内容之一，也要精心选择习题，反映这个事实．例3设P(z)，Q(z)，R(z)及S(z)都是多项式，且满足P(z5)+zQ(z5)+z2R(z5)一(一+z3+z2+z+1)s(z)，试证：(z一1)fP(z)．分析与解只要说明P(1)一O即可．方程z5—1一。的根为1，ccJ，cu2，c￡，3，cu4，这里∞是任一5次单位根，故有1+∞+叫2+∞3+∞4一o，同时，对任意的整数志，(∞6)5一(叫5)‘．依次将z=叫，cc，2，∞3代入，可得P(1)+c￡，Q(1)+ccJ2R(1)一0，P(1

8、)+叫2Q(1)+∞4R(1)一O，P(1)+叫3Q(1)+叫6R(1)一0．这说明一元二次方程P(1)+Q(1)z+R(1)·z2—0有三个不同的根∞，叫2，叫3，由多项式相等定理，知P(1)一Q(1)一R(1)一o，故(z一1)lP(z)，同时也能推得，(z一1)IQ(z)，(z一1)IR(z)，(z一1)

9、S(z)．复数既然起源于方程，那么就要精选以复数为背景的习题，在“解方程——构造方程——根与系数的关系”中充分体现了方程的思想和方法，从而获得对复数之源的充分认识．2．2复数之特：多元表征，化虚为实。由实探虚复数有多种表征法，如复数的表示方法有

10、代数形式，三角形式，指数形式；在复平面上，复数还能与向量建立一一对应，等等．凡此种种，都在于“