基于辛数学方法的一维声子晶体禁带计算

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1、振动与冲击第２９卷第１２期ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＶＩＢＲＡＴＩＯＮＡＮＤＳＨＯＣＫＶｏｌ．２９Ｎｏ．１２２０１０基于辛数学方法的一维声子晶体禁带计算１１，２１刘铁权，邓子辰，周加喜（１．西北工业大学力学与土木建筑学院，西安７１０１２９；２．大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室，大连１１６０２４）摘要：将一维声子晶体的原胞简化为有限多个自由度的弹簧振子结构，在辛对偶变量体系下探讨晶格振动，引入辛数学方法确定波矢与本证值的色散关系。通过本证值计数法计算特征频

2、率，从而得到禁带区间。与传统集中质量法相比，该算法的计算结果与之吻合很好，且提高了计算精度和计算效率，更重要的是在低频处收敛性更好。关键词：声子晶体；禁带；辛方法；色散关系；集中质量法中图分类号：Ｏ３０２；Ｏ３２１；Ｏ４８１．１文献标识码：Ａ近年来，声子晶体作为周期性复合结构中经典波法。在简单弹簧振子模型的基础上引入辛数学方法，［１－７］传播的典型例子受到广泛关注。所谓声子晶体就为一维声子晶体禁带求解提供新的思路。是其内部截止弹性常数和密度呈周期性变化的复合结１一维声子晶体的力学模型构介质。当弹性波在其中传播时，可产生类似于光波在光子晶体中传播产生的禁带

3、，即一定频率范围的弹图１中两种不同弹性常数和密度的无限大平板材性波传播被抑制或禁止。声子晶体的这种特性在隔料Ａ和Ｂ在ｘ方向上交替排列形成一维声子晶体，其声、减振等方面具有极大的理论价值和应用前景。原胞是有无限多自由度的连续系统，采用有限元法，可一维声子晶体虽然结构简单，但是同样具有多维以将其离散为有限个集中质量，而集中质量间的连接［１］声子晶体一样的特性，且易于获得较宽的带隙。一则简化为无质量的弹簧连接。由此，原胞就简化为有维声子晶体弹性波带隙计算方法主要有平面波展开限多个自由度的弹簧振子结构，如图２所示。简化的［２，３］［４］［５，６］［７］法、传递矩

4、阵法、集中质量法和遗传算法弹簧振子结构的自由度数目越多，越接近于实际的原等。传递矩阵法只能计算有限结构的透射反射等特胞，计算精度越高。性，无法进行周期结构中的禁带计算。平面波展开法应用最为广泛，计算相对简单，但存在收敛慢的问题。集中质量法是基于振动力学连续系统离散化处理的思想提出的一种算法，收敛性较好，但需要求解特征矩阵。遗传算法只是为了对声子晶体的振子参数进行优化。近年来辛数学理论的发展已为解决应用力学问题图１一维二组元声子晶体结构［８］［８－１０］提供新的思路。钟万勰在研究一维周期原子链Ｆｉｇ．１Ｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆ１Ｄｐｈｏｎｏｎｉｃｃｒ

5、ｙｓｔａｌｓｗｉｔｈｔｗｏｅｌｅｍｅｎｔ振动时，在对偶体系下引入辛传递矩阵，从而求得晶格振动的色散关系，并用于分析光子晶体禁带。声子晶体是类比于光子晶体提出的周期结构。本文将一维声子晶体原胞简化为有限多个自由度的弹簧振子结构，从而把一维声子晶体的禁带计算简化为求解周期弹簧振子结构的弹性波能带，通过引入晶格振动理论，构造了基于对偶体系和辛几何算法的声子晶体禁带计算方图２一维声子晶体的原胞可简化为ｎ个自由度的弹簧振子Ｆｉｇ．２Ｔｈｅｕｎｉｔｃｅｌｌｏｆ１Ｄｐｈｏｎｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌｓｃａｎｂｅｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ基金项目：国家自然科学基金（１０９７２

6、１８２，１０７７２１４７，１０６３２０３０）；国家基ｔｏｓｐｒｉｎｇｍａｓｓｏｓｃｉｌａｔｏｒｗｉｔｈｎｄｅｇｒｅｅｓｆｒｅｅｄｏｍ础研究计划９７３（２００６ＣＢ６０１２０２）；教育部博士点基金（２００７０６９９０２８）；西北工业大学基础研究基金、西北工业大学研究生图２中每个离散单元只包含一种材料，长度为ｄｊ。创业种子基金（Ｚ２００９３０）；大连理工大学工业装备结构分析国家重每个振子位于简化单元的中心，振子两侧为等刚度的点实验室开放基金（ＧＺ０８０２）资助项目。收稿日期：２０１０－０１－１４修改稿收到日期：２０１０－０３－０８弹簧。弹簧振子结构参数ｍ

7、为：第一作者刘铁权男，硕士，１９８４年生ｍｊ＝ρＳｄｊ（１）通迅作者邓子辰男，教授，博士生导师，１９６４年生式中的Ｓ为声子晶体截面面积，ρ为划分单元的材料密第１２期刘铁权等：基于辛数学方法的一维声子晶体禁带计算１０３２度。对于每半个离散单元，沿ｘ方向的正应力及ｙ方向［Ｘ（ｑ）－ωＩ］Ａ＝０（１０）Ｔ的剪切应力与对应方向的应变成正比，即有：式中Ａ＝［Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ］，若Ａ有非零解，则其系数行ｘｙＦｊΔｘＦｊΔｙ列式必须等于零，对式（１０）的求解转化为求解ｎ＋１维＝（λ＋２μ），＝μ（２）Ｓｄｊ／２Ｓｄｊ／２的一般复数矩阵Ｘ的特征值问题，由此可得到周期

8、弹式中Δｘ，Δｙ为此半个离散单元沿ｘ方向及ｙ方向的拉簧振子结构的弹性波带结构。压