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1、第22卷第2期煤炭学报Vol.22No.21997年4月JOURNALOFCHINACOALSOCIETYApr.1997承压水底板关键层失稳的尖点突变模型白晨光黎良杰于学馥(北京科技大学)(北京大学)(北京科技大学)摘要根据煤矿长壁工作面的布置以及底板突水的可能性分析,提出了底板关键层的力学模型;在此基础上,应用突变理论的方法,对底板关键层的力学模型进行分析,推导出了关键层系统的总势能函数表达式,建立了底板关键层的尖角(CUSP)型突变模型.根据这一模型分析了承压水底板关键层失稳的力学机制,得到的结论符合实际情况,为研究煤矿底板突水机制引入了一种新的理论分析方法.关键词突变理论
2、尖角型模型底板突水关键层中图分类号TD311[1]法国数学家Thom于1972年创立的突变理论,是用来研究各种突变,即不连续现象的一个新兴数学分支.其主要方法是将各种现象归纳到不同类别的拓扑结构中,讨论各类临界点附近的非连续特性.因此,作为一种尝试,本文提出应用突变理论的方法来研究煤矿生产中底板突水问题,旨在探讨承压水底板关键层的失稳机制及突变理论在这一问题应用的可行性.图1底板关键层力学模型Fig11Mechanicalmodelofakeystratuminthefloor(a)关键层的空间位置;(b)关键层的力学模型1承压水底板岩层的力学模型开采会在煤层底板岩层中形成一定深
3、度的破坏带,我们将底板以下含水层以上破坏带内承载能力最[2]大的一层岩层,称为底板关键层(KeyStrata),如图1(a)所示.因此,在无断层构造的条件下,采场底板突水就取决于关键层能否取得平衡.在我国,工作面长度一般为80～120m,底板突水多发生在初次来压期间,此时,工作面距开切眼20～40m处,底板关键层厚度一般为2～6m.据此,沿工作收稿日期:1996-07-20150煤炭学报1997年第22卷面开采方向上,可以把底板关键层视作如图1(b)所示受力状态的一简支梁.在图1中,L为关键层岩梁长;h为高度;宽度为单位长度;E为弹性模量;J为梁横截面惯性矩,且Lmh.梁上部作用
4、着关键层以上岩层和顶板冒落形成的作用力Fr,梁下部作用着来自含水层的压力Fw,梁两端作用着原始应力场应力和开采形成的附加力二者的合力Fh.假设关键层岩梁在上述作用力上发生弯曲变形,其轴线的挠度方程可用傅里叶级数表示,即∞nπsπs2πs3πsw(s)=∑unsin=u1sin+u2sin+u3sin+⋯,(1)n=1LLLL式中,un为第n次谐波的振幅.πs根据确定性法则,式(1)中的第一项u1sin在级数中起着主要作用,故初始挠度方程可表示为Lw(s)=usin(πs/L),(2)式中,s为从梁端点到轴线上任意点的弧线长;u为轴线上的最大挠度(规定向上为正);L为轴线长;w(s
5、)为轴线上任一点的挠度.2关键层系统的突变模型211势函数的确定进行突变理论分析,首先得求出所研究对象系统的势函数Ep.上述关键层岩梁力学系统的势函数Ep可表示为Ep=Es-WF,(3)式中,Ep为结构体系的总势能;Es为结构体系的应变能;WF为结构体系外力所做的功.根据弹性理论中弹性应变能的定义和材料力学中梁的弯曲理论,易推出应变能Es为LEJ2Es=kds,(4)2∫0式中,k为岩梁的曲率.由数学理论可知1hi22-ddwdwdw2usk=roarcsin=21-.(5)dsdsdsds将式(5)代入式(4),可得EJLd2weo2d2-1Eworbus=21-ds.(6)2
6、∫0dsds外力功WF由2部分组成:水平力Fh所做的功WF1和垂直力Fr及Fw的合力ΔF所做的功WF2.在水平力Fh作用下,岩梁在水平方向的缩短量为δ,则水平力Fh做功为1砂.煤试L2-dw2WF1=Fhδ=Fh∫1-1-ds.(7)0ds垂直力Fr和Fw的合力ΔF所做功为第2期白晨光等:承压水底板关键层失稳的尖点突变模型1511LLπsu2π2πs-2WF2=(Fw-Fr)wdx=ΔFusin1-2cosFds.(8)∫0∫0LLL综合式(6)～(8),岩梁的势函数Ep为Ep=Es-WF=Es-WF1+WF2=1)上任EJL线222-1L大挠2dwdwdw2∫上2任1-sds-
7、Fh∫1-1-ds+20dsds0ds1L22-πsuππs2ΔFusin1-2cosds.(9)∫0LLL将式(9)中被积函数作泰勒级数展开,并对上式进行整理,可得力学模型的势能函数表达式为6π22EJπ4EJπ226Ep=5u+2-Fhu+πΔFLu+0(u).(10)16L4LL这是一个关于u的幂级数.从上式容易看到,当参数Fh(>0),EJ,ΔF(≥0或<0)变化时,可以使24[1]u,u的系数为0.因此u是式(10)中系数不为0的最低项次.突变理论中称势函数式(10)是
