附录三三角函数的基本概念

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1、附錄三：三角函數的基本概念一、源起在下圖中的ΔABC為一個直角三角形，其中∠C=90°。B3B2B1BACC1C2C3我們從下面兩個觀點來觀察直角三角形邊長與角度的關係：○1當銳角∠A的大小固定時，無論將直角三角形畫的多大或多小（如上圖），由於BCB//C、BCB//C，所以這些直角三角形都相似，即1122ΔΔΔΔABC~~~ABCABCABC。112233由相似形的性質，下列的六個比值都不會隨著三角形的大小而有所改變：BCBCBCBCBCBC11221122===?；===?；ABABABACACAC1212ABABABACACAC1212

2、===?；===?；ACACACABABAB1212ACACACABABAB112212===?；===?。BCBCBCBCBCBC11221122○2如右圖，將直角ΔABC置於坐標平面上，B2B其中以A當原點，C在x軸的正向，並且B1以AB為半徑畫圓。當∠A的大小改變時，斜邊等長的直角三角形的兩股長也隨著變AC2CC1動，於是上面的六個比值也會隨著∠A的大小而改變。122由上述○1、○2的討論可知，這六個比值不因三角形的大小而改變，但會隨著∠A的大小不同而改變。當∠A的大小確定時，這些比值也跟隨著確定；我們把這種角度與比值之間的函數對應關係

3、，稱為「三角函數」。B二、三角函數的定義ca如右圖，ΔABC為一個直角三角形，其中∠C=90°。令∠A的對邊BC=a、∠A的鄰邊AC=b和斜邊AB=c。ACb現在將前面所提到的六個比值分別定義成下列的六個函數：∠A的對邊a∠A的鄰邊b∠A的正弦函數==；∠A的餘弦函數==；斜邊c斜邊c∠A的對邊a∠A的鄰邊b∠A的正切函數==；∠A的餘切函數==；∠A的鄰邊b∠A的對邊a斜邊c斜邊c∠A的正割函數==；∠A的餘割函數==∠A的鄰邊b∠A的對邊a為了方便，我們將這六個函數分別簡記如下：∠A的正弦函數=sinA；∠A的餘弦函數=cosA；∠A的正

4、切函數=tanA；∠A的餘切函數=cotA；∠A的正割函數=secA；∠A的餘割函數=cscA，其中sin、cos、tan、cot、sec和csc分別為sine、cosine、tangent、cotangent、secant和cosecant的簡寫。【範例1】已知ΔABC為一個直角三角形，其中∠C=90°，∠A為較大的銳角，兩股長分別為5、12。求∠A的六個三角函數值。B【解】∵AC=5、BC=12（大角對大邊）2222∴斜邊長AB=AC+BC=5+12=169=13∠A的對邊BC1212⇒sinA===；斜邊AB13∠A的鄰邊AC5cosA

5、===；斜邊AB13AC5∠A的對邊BC12tanA===；∠A的鄰邊AC5∠A的鄰邊AC5cotA===；∠A的對邊BC12123斜邊AB13secA===；∠A的鄰邊AC5斜邊AB13cscA===。∠A的對邊BC12【類題練習1】已知ΔABC為直角三角形，其中∠C=90°、AC=2和AB=5。寫出的六個三角函數在∠B的值。【範例2】已知ΔABC為直角三角形，其中∠C=90°、∠A=30°。回答下列問題：(1)求tanA、cotB、secA和cscB的值。22(2)求(sinA)+(cosA)的值。22(3)求(sinB)+(cosB)的

6、值。【解】如右圖，直角三角形三邊長的比為AC:BC:AB=2:1:3。∠A的對邊BC13(1)tanA====；∠A的鄰邊AC33B2∠B的鄰邊BC131cotB====；∠B的對邊AC3330°AC3斜邊AB223secA====；∠A的鄰邊AC33斜邊AB223cscB====∠B的對邊AC3322BC2AC2123213(2)(sinA)+(cosA)=()+()=()+()=+=1ABAB224422AC2BC2321231(3)(sinB)+(cosB)=()+()=()+()=+=1ABAB2244上題中，因為∠A=30°，我們常

7、將sinA直接寫成sin30°，也就是說，sin30°就是30°2222角的正弦函數值。又為了方便書寫，常將(sinA)寫成sinA、(cosA)寫成cosA、…。124【範例3】分別求出45°角的六個三角函數值。【解】如右圖，直角三角形三邊長的比例為AC:BC:AB=:1:12。∠A的對邊BC12所以sin45°====；斜邊AB22B∠A的鄰邊AC1245°cos45°====；斜邊AB2221∠A的對邊BC1tan45°====1；∠A的鄰邊AC145°∠A的鄰邊AC1cot45°====1；AC∠A1的對邊BC1斜邊AB2sec45°

8、====2；∠A的鄰邊AC1斜邊AB2csc45°====2。∠A的對邊BC1【類題練習2】完成下表：∠AsinAcosAtanAcotAsecAcscA30°60