边缘分布条件分布的几何意义及推广

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1、第3O卷第3期大学数学Vo1．30，№．32014年6月CoLLEGEMATHEMATICSJun．2014边缘分布条件分布的几何意义及推广胡晓华，虞敏(海南师范大学数学与统计学院，海口570105)[摘要]从几何的角度，揭示边缘分布条件分布的几何意义，浅显易懂，帮助学生深入正确理解定义所隐含的内容，同时，进一步推广了边缘分布和条件分布．[关键词]概率；统计；边缘分布；条件分布[中图分类号]O13[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(2014)03—0081—061边缘分布的几何意义定义1设F(x，)为二维随机变量(X，y)的(联合)分布函数，F(x，)：P

2、{X≤z，Y≤Y)，分别称P(X≤)=P{X≤，Y<。。)=F(x，cx。)Fx()，Pt：y≤Y)一P{X

3、1ry广r∞]Fx()一F(z，oo)一lIIf(x，)dyJdx，Fy()=F(∞，)一lJIf(x，)dxId．J一。。LJ—o。一J—o。L-J一。。一记，fx(z)一If(x，)dy，^()一If(x，)dx，分别称fx(z)，^()为：二维连续型随机变量(x，y)关于x和关于y的边缘概率密度函数．由定义1，二维随机变量(X，y)可视为平面上的随机点(为方便，随机点与随机变量可视为等同)，二维随机变量(X，y)的(联合)分布函数F(x，)一P{X≤z，Y≤Y)的几何意义显然是随机点(X，y)落在平面区域{(，)fX≤z，y≤y}内发生的概率，见图1．二维随机变

4、量(x，y)关于x的边缘分布函数Fx(z)表示平面上的随机点(X，y)落在平面直线X_-z左边平面区域内(含直线){(z，)lX≤z，y

5、取值分别为平行于y轴，平行于X轴的离散直线族，这些直线族在平面上形成相互垂直交叉的网格线，(X，y)的取值为网格线的交叉点，见图4．二维离散型随机变量(X，Y)在网格线上的交叉点处随机跳动，显然，p为随机点(X，Y)落在交叉点(z，Y)处的概率，i：1，2，⋯，一1，2，⋯．此时，为随机点(x，y)落在平面直线X===上发生的概率，且一∑p，户．为随机点(x，y)落在平面直线Y：Y上发生的概率，户．一∑户．平面上网格线的每个交叉点都对应了一个概率值P．这样，点集{(z，Y，P)，i一1，2，⋯，：1，2，⋯}的分布在空间就形成了一个由离散点构成的“曲面”(垂直于XOY

6、平面的竖直方向为概率)．可以想像，随着平面上二维随机变量(X，y)取值的不断增加，即网格线不断加密，或密集程度的不断增加，这个“离散曲面”的“离散”程度将逐步减少．当平面上网格线无限密集，呈“连续”分布时，“离散曲面”将变成“连续曲面”，见图5．此时，二维离散型随机变量(X，y)就转化成连续型随机变量了，该“连续曲面”(用三表示)变成了由二维连续型随机变量(X，y)的联合概率密度函数f(x，)来描述，称三为概率密度曲面．然而，连续情况下引入的概率密度函数f(z，)并不表示二维连续型随机变量(X，Y)取单点值(，)的概率，由f(z，)定义易知二维连续型随机变量(X，y)

7、取单点值(，)的概率为零．事实上，P{0，0<81<1，zay>0，0<<1，令一0，zay一0．易知P{X=X，Y—Y)一0．在不计高阶无穷小的条件下，二维连续型随机变量(X，y)的概率密度函数f(x，)为随机变量(X，y)落在点(，j，)附