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《边缘分布条件分布的几何意义及推广》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第3O卷第3期大学数学Vo1.30,№.32014年6月CoLLEGEMATHEMATICSJun.2014边缘分布条件分布的几何意义及推广胡晓华,虞敏(海南师范大学数学与统计学院,海口570105)[摘要]从几何的角度,揭示边缘分布条件分布的几何意义,浅显易懂,帮助学生深入正确理解定义所隐含的内容,同时,进一步推广了边缘分布和条件分布.[关键词]概率;统计;边缘分布;条件分布[中图分类号]O13[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(2014)03—0081—061边缘分布的几何意义定义1设F(x,)为二维随机变量(X,y)的(联合)分布函数,F(x,):P
2、{X≤z,Y≤Y),分别称P(X≤)=P{X≤,Y<。。)=F(x,cx。)Fx(),Pt:y≤Y)一P{X3、1ry广r∞]Fx()一F(z,oo)一lIIf(x,)dyJdx,Fy()=F(∞,)一lJIf(x,)dxId.J一。。LJ—o。一J—o。L-J一。。一记,fx(z)一If(x,)dy,^()一If(x,)dx,分别称fx(z),^()为:二维连续型随机变量(x,y)关于x和关于y的边缘概率密度函数.由定义1,二维随机变量(X,y)可视为平面上的随机点(为方便,随机点与随机变量可视为等同),二维随机变量(X,y)的(联合)分布函数F(x,)一P{X≤z,Y≤Y)的几何意义显然是随机点(X,y)落在平面区域{(,)fX≤z,y≤y}内发生的概率,见图1.二维随机变4、量(x,y)关于x的边缘分布函数Fx(z)表示平面上的随机点(X,y)落在平面直线X_-z左边平面区域内(含直线){(z,)lX≤z,y5、取值分别为平行于y轴,平行于X轴的离散直线族,这些直线族在平面上形成相互垂直交叉的网格线,(X,y)的取值为网格线的交叉点,见图4.二维离散型随机变量(X,Y)在网格线上的交叉点处随机跳动,显然,p为随机点(X,Y)落在交叉点(z,Y)处的概率,i:1,2,⋯,一1,2,⋯.此时,为随机点(x,y)落在平面直线X===上发生的概率,且一∑p,户.为随机点(x,y)落在平面直线Y:Y上发生的概率,户.一∑户.平面上网格线的每个交叉点都对应了一个概率值P.这样,点集{(z,Y,P),i一1,2,⋯,:1,2,⋯}的分布在空间就形成了一个由离散点构成的“曲面”(垂直于XOY6、平面的竖直方向为概率).可以想像,随着平面上二维随机变量(X,y)取值的不断增加,即网格线不断加密,或密集程度的不断增加,这个“离散曲面”的“离散”程度将逐步减少.当平面上网格线无限密集,呈“连续”分布时,“离散曲面”将变成“连续曲面”,见图5.此时,二维离散型随机变量(X,y)就转化成连续型随机变量了,该“连续曲面”(用三表示)变成了由二维连续型随机变量(X,y)的联合概率密度函数f(x,)来描述,称三为概率密度曲面.然而,连续情况下引入的概率密度函数f(z,)并不表示二维连续型随机变量(X,Y)取单点值(,)的概率,由f(z,)定义易知二维连续型随机变量(X,y)7、取单点值(,)的概率为零.事实上,P{0,0<81<1,zay>0,0<<1,令一0,zay一0.易知P{X=X,Y—Y)一0.在不计高阶无穷小的条件下,二维连续型随机变量(X,y)的概率密度函数f(x,)为随机变量(X,y)落在点(,j,)附
3、1ry广r∞]Fx()一F(z,oo)一lIIf(x,)dyJdx,Fy()=F(∞,)一lJIf(x,)dxId.J一。。LJ—o。一J—o。L-J一。。一记,fx(z)一If(x,)dy,^()一If(x,)dx,分别称fx(z),^()为:二维连续型随机变量(x,y)关于x和关于y的边缘概率密度函数.由定义1,二维随机变量(X,y)可视为平面上的随机点(为方便,随机点与随机变量可视为等同),二维随机变量(X,y)的(联合)分布函数F(x,)一P{X≤z,Y≤Y)的几何意义显然是随机点(X,y)落在平面区域{(,)fX≤z,y≤y}内发生的概率,见图1.二维随机变
4、量(x,y)关于x的边缘分布函数Fx(z)表示平面上的随机点(X,y)落在平面直线X_-z左边平面区域内(含直线){(z,)lX≤z,y5、取值分别为平行于y轴,平行于X轴的离散直线族,这些直线族在平面上形成相互垂直交叉的网格线,(X,y)的取值为网格线的交叉点,见图4.二维离散型随机变量(X,Y)在网格线上的交叉点处随机跳动,显然,p为随机点(X,Y)落在交叉点(z,Y)处的概率,i:1,2,⋯,一1,2,⋯.此时,为随机点(x,y)落在平面直线X===上发生的概率,且一∑p,户.为随机点(x,y)落在平面直线Y:Y上发生的概率,户.一∑户.平面上网格线的每个交叉点都对应了一个概率值P.这样,点集{(z,Y,P),i一1,2,⋯,:1,2,⋯}的分布在空间就形成了一个由离散点构成的“曲面”(垂直于XOY6、平面的竖直方向为概率).可以想像,随着平面上二维随机变量(X,y)取值的不断增加,即网格线不断加密,或密集程度的不断增加,这个“离散曲面”的“离散”程度将逐步减少.当平面上网格线无限密集,呈“连续”分布时,“离散曲面”将变成“连续曲面”,见图5.此时,二维离散型随机变量(X,y)就转化成连续型随机变量了,该“连续曲面”(用三表示)变成了由二维连续型随机变量(X,y)的联合概率密度函数f(x,)来描述,称三为概率密度曲面.然而,连续情况下引入的概率密度函数f(z,)并不表示二维连续型随机变量(X,Y)取单点值(,)的概率,由f(z,)定义易知二维连续型随机变量(X,y)7、取单点值(,)的概率为零.事实上,P{0,0<81<1,zay>0,0<<1,令一0,zay一0.易知P{X=X,Y—Y)一0.在不计高阶无穷小的条件下,二维连续型随机变量(X,y)的概率密度函数f(x,)为随机变量(X,y)落在点(,j,)附
5、取值分别为平行于y轴,平行于X轴的离散直线族,这些直线族在平面上形成相互垂直交叉的网格线,(X,y)的取值为网格线的交叉点,见图4.二维离散型随机变量(X,Y)在网格线上的交叉点处随机跳动,显然,p为随机点(X,Y)落在交叉点(z,Y)处的概率,i:1,2,⋯,一1,2,⋯.此时,为随机点(x,y)落在平面直线X===上发生的概率,且一∑p,户.为随机点(x,y)落在平面直线Y:Y上发生的概率,户.一∑户.平面上网格线的每个交叉点都对应了一个概率值P.这样,点集{(z,Y,P),i一1,2,⋯,:1,2,⋯}的分布在空间就形成了一个由离散点构成的“曲面”(垂直于XOY
6、平面的竖直方向为概率).可以想像,随着平面上二维随机变量(X,y)取值的不断增加,即网格线不断加密,或密集程度的不断增加,这个“离散曲面”的“离散”程度将逐步减少.当平面上网格线无限密集,呈“连续”分布时,“离散曲面”将变成“连续曲面”,见图5.此时,二维离散型随机变量(X,y)就转化成连续型随机变量了,该“连续曲面”(用三表示)变成了由二维连续型随机变量(X,y)的联合概率密度函数f(x,)来描述,称三为概率密度曲面.然而,连续情况下引入的概率密度函数f(z,)并不表示二维连续型随机变量(X,Y)取单点值(,)的概率,由f(z,)定义易知二维连续型随机变量(X,y)
7、取单点值(,)的概率为零.事实上,P{0,0<81<1,zay>0,0<<1,令一0,zay一0.易知P{X=X,Y—Y)一0.在不计高阶无穷小的条件下,二维连续型随机变量(X,y)的概率密度函数f(x,)为随机变量(X,y)落在点(,j,)附
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