习题2.4参考答案

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1、习题2.4求解下列微分方程（1）解：令，则方程可化为即分离变量得即两边积分即化简得把代入上式，化简得方程的解（2）解：因为所以令，解方程得把，代入原方程则原方程可化为令，则上面方程可化为即分离变量得两边积分得即化简得即把代入化简得把，代入上式化简得方程的解（3）.=解：=0，则设则=即原方程为：=化简为：=分离变量得：=得：=即原方程通解为：（4）.=解：在方程两边同时乘以，得：，令，则原式为：（1）其对应的其次方程为：解得通解为在方程（1）两边同时乘以，即即厡方程通解为（4）解：方程可变形为，给方程两边同乘

2、以，得+=，然后令，就有，这是关于未知函数的一阶线性方程，将方程改成如下形式两边同乘以积分因子，得到方程，它的全微分形式为由此直接积分，，化简得化简得代入，得微分方程为5、求一曲线，使得连该曲线上任意点的切线与该点径向的交角等于。解：设曲线y=y(x)，由已知得：令则曲线方程为：6、探照灯的反光镜（旋转曲面）应具有何种形状，才能使电光源发射的光束反射成平行线束？解：以光源为圆心，平行光束为x轴，y轴为经过圆心垂直于x轴的直线设所求曲线方程y﹦f(x)，曲线上某点的切线斜率为,与它垂直的线的斜率为-由反光镜的原

3、理得-／[1+0·(-)]=﹙+﹚／[1+﹙-﹚﹙﹚]①化简得：y+2x-y=0②∴=[-2x±(4x²+4y²)½]／2y化简得：=-±[()+1]½③令=u,y=xu=u+xdu／dx代入③式化简得：﹙udu﹚／-[(1+u²)±(1+u²)½]=令1+u²=t,d(1+u²)=d(t²),∴udu=tdt则=㏑︳t±1︳=-㏑︳x︳＋C㏑︳x(t±1)︳=Cx(t±1)=Ct±1=﹙1+u²﹚±1=将＝u代入上式并化简得y²＝±2Cx＋C²∴y²＝±2Cx+C²为所求曲线方程