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1、第18卷第2期沈阳化工学院学报Vol.18No.22004.6JOURNALOFSHENYANGINSTTTUTEOFCHEMICALTECHNOLOGYJun.2004文章编号:1004-4639(2004)02-0129-04强迫Duffing振子的增量谐波平衡格式吴敬东,刘长春,朱成实,鄢利群(沈阳化工学院,辽宁沈阳110142)摘要:采用增量谐波平衡法导出强迫Duffing振子稳态响应的IHB计算格式,并作出特定系统参数下的周期响应极限环,其结果与RungeKutta方法进行对比,表
2、明此法精度可以灵活控制,且收敛速度快,结果可靠,是强非线性问题动力学特性分析的有效方法.同时以外激励频率为参数进行跟踪延续获得系统主共振时的幅频响应特性.关键词:增量谐波平衡;幅频响应;极限环中图分类号:TH113文献标识码:A在非线性动力学问题中,存在很多强非线性x(t)=q()2动力学问题.其控制方程中的非线性项相对其派x(t)=q()生线性系统而言非小量.此系统不能视为其派生因此(1)式变为系统的扰动系统,因而非线性动力学分析中只局23q+cq+aq+q
3、=Fcos(2)[1、2]3限于弱非线性问题的正规摄动法、LP法、平记f(q,q,)=cq+aq+q-Fcos(3)均法、多尺度法和KBM法等方法失效.另外,直令q和表示振动过程的某一状态,则00接数值积分法,如RungeKutta方法,虽然可以邻近的状态可以表示为增量的形式求解强非线性问题,但不适于分析如幅频响应等q=q+q(4)0系统参数在某个宽带内变动时的系统响应特性,=+(5)且对某些问题收敛速度可能很慢.采用增量谐波将(4)式、(5)式代入(2)式,并略去高阶项,便
4、得[3]平衡(IHB)方法可以同时分析弱非线性和强到关于,x的变分方程非线性问题,因而具有很强的适用性.该法公式2ffq+q+q=推导容易,迭代方程中能灵活控制算法收敛精0q0q0度,是研究强非线性问题稳态周期响应的有效方f-(f+2q)-+2q法.00000(6)0其中1强迫Duffing振子IHB计算模型3f=cq+aq+q-Fcos00000非线性动力学中最简单最常见的例子是f=a+3q2q0Duffing振子.这是达芬于1918年首先研究的,
5、0其强迫振动的控制方程为f=c3q0x+cx+ax+x=Fcost(1)0其中为非线性参数,c为阻尼,x为位移,F和f=cq0分别为外激励幅值和频率.0首先令无量纲时间=t,则将q0,q均表示为有限项Fourier级数的形式收稿日期:2003-09-02作者简介:吴敬东(1963-),男,辽宁沈阳人,副教授,博士研究生在读,主要从事非线性动力学研究.130沈阳化工学院学报2004年N(11)式求得A.这一过程为迭代过程,直到q
6、0=(ancosn+bnsinn)n=1=A/max(A)或者R足够小,达到某Nq=n=1(ancosn+bnsinn)一强迫周期振动的振幅向量.然后,以此A作为其中N为谐波项数.新的初始振幅向量,将外激励变动为0+,令A0=[a1,a2,,an,b1,b2,,bn]重复该过程计算新的外激励频率下的系统稳态q=[cos,cos2,,cosn,周期运动的振幅向量.由此还可以做出某一频带sin,sin2,,sinn]内的系统强迫振动的幅频响应曲线,此过程即
7、为A=[a1,a2,,an,外激励频率为参数的跟踪延续过程.b,b,,b]12n2数值模拟则q=qA(7)00q=qA(8)取(1)式中各参数c=0.3,b=1,F=0.5,对(6)式在周期2进行Galerkin积分=2,=1,普通摄动法将失效,采用2阶、3阶和2ff5阶IHB方法,计算其振幅向量分别为(q)(q+q+q)d=00qq00A2={0.615764,0,0.2709386,0}22f+2qA3={0.609005,0,0.0
8、097,0.26796,(q)-(f0+0q0)-0000,0.02018}经整理得A5={0.609,0,0.0097,0,-0.0001,2(A)TqT2q+fq+0.268158,0,0.0199,0,0.00033}00q0做出相应的稳态周期运动相图(如图1所fqdA=示,2阶、3阶与5阶图完全重合).若采用4阶q0RungeKutta法对其直接进行数值运算,可
