分数阶Duffing振子的亚谐共振.doc

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1、分数阶Duffing振子的亚谐共振韦鹏，申永军，杨绍普(石家庄铁道大学机械工程学院，石家庄050043)摘要：研究了含分数阶微分项的Duffing振子的亚谐共振，利用平均法得到了系统的一阶近似解。提出了亚谐共振时等效线性阻尼和等效线性刚度的概念，分析了分数阶微分项的系数和阶次对系统动力学特性的影响。建立了亚谐共振定常解的幅频曲线的解析表达式，并得到了亚谐共振周期响应的存在条件和稳定性判断准则。最后进行了数值解和解析解的比较，证明了解析结果的准确性，并通过数值仿真研究了分数阶微分项的参数对亚谐共振解的存在条件、稳定性条件和系统幅频曲线的影响。关键词：分数阶微分；Duffing振子；亚

2、谐共振；稳定性；平均法中图分类号：O313,O322文献标识码：A文章编号:引言分数阶微积分运算包括分数阶微分和分数阶积分运算，其含义就是将常规微积分运算的阶次从传统的整数阶推广到分数阶和复数阶的情况。从1695年Leibniz与Hospital的最早研究开始，发展至今已经有300多年历史。在这个过程中，很多学者围绕着分数阶微积分的性质和特点展开了研究，在基础理论[1-2]方面取得了较大的进展。同时，分数阶微积分也可以用来解决工程中的科学问题，例如：模拟含记忆特性的工程材料的本构关系，分数阶微积分的引入能够更加准确地反映材料的真实本构关系；由于分数阶反馈和传统的整数阶反馈相比具有控

3、制精确、鲁棒性更好、抗噪声能力强等优点，因此在控制系统中人为引进分数阶反馈项能够提高系统的控制效果。目前对于分数阶动力系统的研究主要分为三类[3-13]，分别是解析、定性和数值的研究。其中解析研究主要目的是找到系统的近似解并进行定量分析，定性研究主要研究解的数目和稳定性的变化，数值研究则偏重于稳定可靠的数值计算方法或者直接数值分析分数阶微分方程的复杂动力学现象。申永军、杨绍普等人[3-6]研究了一些含分数阶微分的线性和非线性振子，分析了分数阶微分项中各个参数对系统动力学行为的影响。李媛萍[7]等人对分数阶vanderPol-Duffing系统的非线性动力学行为进行分析，发现在地震荷

4、载作用下，分数阶次的变化能改变系统的输出能量。廖少锴和张卫利用Newmark法研究了一些非线性分数阶微分振子的动力学行为[8]并推广到Duffing系统[9]，建立了高效率的数值计算格式。陈林聪和朱位秋[10-12]等人研究了谐和与宽带噪声联合激励下含分数阶微分项的Duffing振子和其它非线性振子的随机平稳响应,验证了解析方法的准确性。刘崇新[13]等人提出了基于Lyapunov方程的分数阶系统稳定理论的控制方法，并设计了相应的控制器。目前在大量对分数阶动力系统进行解析研究的文献中一般是直接将分数阶微分项当作阻尼来进行处理，这是不恰当的。由申永军、杨绍普等人[3-6]对分数阶微分

5、方程的解析研究发现，动力系统中的分数阶微分项不仅起到阻尼的作用还起到刚度的作用。本文以含分数阶微分项的Duffing振子为对象，研究分数阶微分项对系统1/3次亚谐共振动力学特性的影响。利用平均法建立了系统的一次近似解析解，同时通过分数阶微分项的系数和阶次对等效线性阻尼和等效线性刚度的影响，研究了分数阶微分项对系统的1/3次亚谐共振解的存在条件、定常解稳定性条件和幅频特性的影响。1分数阶Duffing振子的1/3次亚谐共振近似解研究如下含分数阶微分项的Duffing振子(1)其中分别为系统的质量、线性刚度、线性阻尼、非线性刚度系数、激励幅值和频率，和分别是分数阶微分项的系数和阶次。分

6、数阶微分的定义方式有多种，这里采用Caputo型分数阶微分定义(2)其中为Gamma函数，满足。对系统进行如下坐标变换，，，，(1)式变为(3)研究1/3次亚谐共振情形，即。引入，其中为激励频率谐调参数，则(3)式变为(4)假设(4)式的解具有如下形式(5a)(5b)其中，。根据平均法得到(6a)(6b)其中根据平均法在[0,T]区间上对(6)式进行积分平均(7a)(7b)积分平均时，可取(若是周期函数)或者(若是非周期函数)。对(7)式第一部分积分得到(8a)(8b)对(7)式第二部分积分得到(9a)(9b)引入两个基本公式[4](10a)(10b)将分为两部分，第一部分为(11

7、)利用坐标变换，得到(12)将(12)式分为两部分，第一部分定义为，第二部分定义为，可以得到(13)分析(14)利用类似的方法，发现当(15)因此(16)类似分析得到(17)于是得到(18a)同理，利用类似的方法分析可以得到(18b)结合(8)式和(18)式得到(19a)(19b)代入原系统参数得到(20a)(20b)其中(21a)(21b)分别定义为1/3次亚谐共振时的等效线性阻尼和等效线性刚度。分析(21)式可知，分数阶微分项的系数和阶次对等效线性阻尼和等效线性刚