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1、基于增量谐波平衡法的马休-杜芬振子分岔及通往混沌道路的分析陈树辉，沈建和(中山大学应用力学与工程系，广州，510275)摘要本文提出一种分析Mathieu-Duffing振子动力学行为:包括稳定性、分岔及通往混沌道路的方法。在该方法中，基于增量谐波平衡法,求得特定参数状态下的周期解;基于Floquet理论，考察求得的周期解的稳定性.以系统的控制参数作为主动增量,在每一步增量过程中，计算出周期解及周期解的Floquet乘子.以Floquet乘子随着控制参数变化的演化作为判据,了解周期解的分岔类型及分岔值.若周期解出现周期倍化分岔,则通过引入适当的谐波项,把分岔
2、点处的周期解写成倍周期的形式,然后把此时得到的形式解作为下一级周期倍化轨道的初始值.再次利用增量谐波平衡法,计算出周期倍化轨道及其Floquet乘子.进一步追踪Floquet乘子随控制参数的变化的演化,得到下一周期倍化分岔点.重复上述过程,则可半解析地证实马休-杜芬振子经连续的周期倍化分岔进入混沌的道路.同时,近似地获到周期倍化分岔的系列分岔点及混沌产生的阈值.给出的分岔图及不同参数状态下的相图也定性地说明了该振子经连续的周期倍化分岔进入混沌的道路。关键词分岔；混沌产生的道路；Mathieu-Duffing振子；增量谐波平衡法；Floquet理论引言对非线性
3、系统的动力学行为,例如稳定性、分岔及通往混沌道路的研究,长期吸引着人们的兴趣.这不仅为考察动力系统在特定参数条件下的动力学行为、了解系统的运动从有序向混沌转化的机制;同时也是分岔控制及混沌控制的需要.至今,已有大量的文国家自然科学基金(No10672193)和中山大学高等学术研究中心(06M13)资助项目E-mail:stscsh@mail.sysu.edu.cn献研究动力系统经连续的系列分岔进入混沌的问题,并已发现几种混沌产生的典型途径，包括无穷多次的周期倍化分岔、拟周期道路及阵发性道路.在这三类典型的途径当中，第一条途径已被大量研究.但是,所采用的研究方
4、法基本上集中于数值研究与实验研究或者两者的结合,解析即使是半解析的研究手段也很少见.本文基于增量谐波平衡法,结合Floquet理论,半解析地考察马休-杜芬振子经多次的分岔进入混沌的道路问题.增量谐波平衡法(IHB法)由Lau为处理弹性系统的结构周期振动而提出.之后,该方法被广泛地运用于研究动力系统的多种动力学现象,并由E.H.Dowell首次推荐用于求解Lorenz系统的混沌运动.之后,Leung应用IHB法,构造了Duffing振子的分岔边界及混沌区域.Ge等利用IHB法,求得具有参数激励的单轴速率陀螺的周期解;并基于多变量Floquet理论,考察求得的周
5、期解的稳定性;最后,利用数值积分,计算周期解各类分岔的分岔点以及系统混沌产生的阈值.Xu等基于IHB法求得具有分段刚度与分段阻尼的单自由度谐激振子的周期解,并通过不同周期响应的振幅峰值与控制参数的关系,获得系统的周期倍化分岔点.A.Raghothama等也利用IHB法,分别研究了转子轴承系统、具有分段非线性刚度的连接载荷平台模型及逃逸模型的周期解、周期解的分岔以及系统混沌运动的形成问题。但是，纵观这些文献，有几个不足之处：第一，这些文献都没有给出连续求解周期倍化轨道的定量方法,因此,对于高周期的轨道,一般难以求得;第二,分岔点及混沌产生的阈值的确定依靠数值技
6、巧,例如are-length法等.因此存在几个不足:例如过程较为复杂,精确度较低,只能获得系统的前几个分岔点,没有办法求得系统的不稳定解等;第三，给出的计算周期轨道monodromy矩阵的公式有误。本文基于IHB法与Floquet理论的结合，研究Mathieu-Duffing振子经连续的分岔进入混沌的道路问题。以IHB法定量地求出周期轨道及高周期轨道的表达式；以Floquet理论考察周期轨道与高周期轨道的稳定性；以周期轨道的Floquet乘子随系统控制参数变化的演化作为判据，定性地分析周期轨道的分岔类型及对应的分岔值。通过以上方法，可得到一系列的周期倍化分岔
7、点。这些分岔点之间的距离越来越小，趋于某个极限值，该极限值代表系统混沌产生的阈值；同时发现，这一系列周期倍化分岔点近似地服从Feigenbaum于Logistic模型中所发现的普适规律.1增量谐波平衡计算公式考虑如下Mathieu-Duffing方程:，(1)方程(1)可用于描述带有变速度的轴向运动梁的单模横向振动等力学与工程问题。引入新的无量纲时间尺度:,(2)则方程(1)变为：(3)设x0(t)为对应于初始振幅b0、频率W0及阻尼x0的周期解,则x,b,W及x可写成,(4)这里为增量符号.把(4)式代入(3)式展开,由于等带有增量符号的量是小量,故可略去
8、增量的高阶项得,(5)迭代的误差为：设x0(t)为：
