等差数列及性质教学教案

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1、等差数列（一）创设情境，课题导入复习上节课学习的数列的定义及数列的表示法。这些方法从不同的角度反映了数列的特点，下面我们来看这样的一些数列：⑴05101520……⑵48535863⑶1815.51310.585.5⑷1007210144102161028810360教师提出问题：以上四个数列有什么共同的特征？请同学们互相讨论。（学生积极讨论，得到结论，教师指名回答）共同特点：从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数。师：这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点，具有这种特点的数列，我们把它叫做等差

2、数列。（二）设置问题，形成概念等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母d表示。师：如何用数学语言来描述等差数列的定义？学生讨论后得出结论：数学语言：或≥1)那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。提问：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A所以就有由三个数a，

3、A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。看来，从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q则（三）等差数列的通项公式师：如同我们在前一节看到的，能否确定一个数列的通项公式对研究这个数列具有重要的意义。数列⑴⑵⑶⑷的通项公式存在吗？如果存在，分别是

4、什么？师：若一个无穷等差数列｛｝，首项是，公差为d，怎样得到等差数列的通项公式？（引导学生根据等差数列的定义进行归纳）即：即：即：……至此，让学生自己猜想通项公式是什么，使学生体会归纳、猜想在得出新结论中的作用。生：师：此处由归纳得出的公式只是一个猜想，严格的证明需要用数学归纳法的知识，在这里，我们暂且先承认它，我们能否再探索一下其他的推导方法？6叠加法：｛｝是等差数列，所以：……两边分别相加得：所以：以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为：迭代法：｛｝是等差数列，则：=……=所以：　　由以上关系还

5、可得：即：则：=即得等差数列的第二通项公式：（四）通项公式的应用：师：要求等差数列的通项公式只需要求谁？生：和师：通项公式中有几个未知量？生：、、、师：要求其中的一个，需要知道其余的几个？生：3个。举几个简单的例子让学生求解（屏幕显示）：等差数列｛｝中，⑴已知：求⑵已知：求⑶已知：求⑷已知：求（题目比较简单，照顾到全体学生，使学生深刻掌握等差数列的通项公式，从而打好基础。）例题讲解：例一：1、求等差数列8、5、2……的第20项解：由得：2、是不是等差数列、、……的项？如果是，是第几项？解：由得由题意知

6、，本题是要回答是否存在正整数n，使得：成立解得：即是这个数列的第100项。6例二：数列是等差数列吗？（引导学生根据等差数列的定义求解，就是看是不是一个与n无关的常数。）生：所以：｛｝是等差数列引申：已知数列｛｝的通项公式，其中、为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？　　（指定学生求解）解：取数列｛｝中任意两项和它是一个与n无关的常数，所以｛｝是等差数列？并且：由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.师：上节课我们已

7、学习过数列是一种特殊的函数，那么由此题启示，等差数列是哪一类函数？生：等差数列是关于正整数ｎ的一次函数。师：一定是一次函数吗？生（茫然，讨论）：还可以是常数函数，当ｄ＝０的时候。师：那么等差数列的图像有什么特征？生：是均匀分布在一条直线上的一群孤立的点。师：通过例三，我们能否总结一下，到目前为至我们有哪些方法来判断一个数列是等差数列？一是利用定义：或≥1)二是利用通项公式：　　是关于ｎ的一次函数或常数函数。课堂检测反馈：１、求等差数列10、８、６…的第２０项。２、－20是不是等差数列０、3.5、－7…

8、的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。３、等差数列｛｝中，已知：求和４、等差数列｛｝中，已知：求５、等差数列｛｝中，已知：求、（五）课时小结：（学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结）1.等差数列的定义：或≥1)2.等差数列的通项公式：或6等差数列的性质教学重点、难点：重点：等差数列的性质及推导。难点：等差数列的性质及应用。等差数列的常见性质：若数列为等差数列，且公差为，则此数列具有以下性质：①；②；③若（），则；④。等