题眼 解题智慧之泉

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1、万方数据题曝，铝题智慧之靠吴锷棋有棋眼，文有文眼，题有题眼．棋眼，乃下棋的突破口，一旦占领棋眼，即可取得绝对性的优势；文眼，则指文中最能揭示主旨、升华意境、涵盖内容的关键性词句，文眼往往奠定文章的感情基调，以及确定文章的中心；而数学问题中的“题眼”泛指试题主要落点或解题的关键点．从哲学的角度来看，就是抓住主要矛盾，问题便迎刃而解．数学解题和下棋、写文章二样，如果善于挖掘题眼，理解题眼，破解题眼，则会起到四两拨千斤之用．☆一、从数式结构上挖掘题眼，例1已知A，B，c是平面上任意三点，BC一口，CA=6，AB—c，则y—i‰+詈的最小值是——．分析观察

2、题目的结构特征，如果让口趋近于o，此时代数式y—i再c+詈符合应用基本不等式的条件，应该有最小值，相对固定b，C，即把b，C视为常数，代数式y=‘÷+旦随着正数乜的变大而变小，因此解决本题实数a的变化就是本题的主要矛盾，即本题的“题眼”．要使Y最小，只要a最大，因为A，B，C是平面上任意三点，且BC=a，CA一6，AB—c，故。的最大值是6+c，所以y—i毛+詈≥志+詈一确1+(手+虿1)～专≥扭一百1，即最小值是~／万一虿1．■例2已知实数日，6分别满足a3--3以。+5a=1，b3—3b2+5b一5，则口+b的值为分析观察题目条件a3—3a2+

3、5a一1，b3—3b24-5b=5，我们可以构造函数f(x)一z3—322+5z，则f(a)一1’厂(6)一5，通过导数f7(z)一322—6z+5>0，不难发现fCr)在R上单调递增，故丑<6．进一步尝试发现．厂(O)=0，厂(1)=3，此时断定0<盘<1<6，特别关注丛旦掣：厂(1)，这就是本题的“题眼”．由此，要求a+b的值，我们大胆猜想函数厂(z)一2C3—3x2+5z的图象是中心对称图形．而厂(z)=z3—3x2+5．r一(z一1)3+2(z一1)+3的图象可以看成是由y—z3+2z的图象平移得到，即f(x)的图象关于点(1，3)中心对称

4、，故a+6—2．解题思路赏析分析题目中数式的结构特征非常重要，而发掘“题眼”往往需要通过感知，敏锐地观察，大胆运用直觉思维，迅速作出判断，从隐蔽的数学关系中找到问题的实质．而仔细观察，抓住数式的结构特征，往往能有效地挖掘题眼信息．当数学题中需要处理的数式关系很复杂或有多个时，其中往往必有一个起核心作用，抓住这个核心，露，_Vew'Universx：tyEntranceCKraminatllon一国震羹万方数据羚二、从图形特征上挖掘题眼够例3已知圆(x--1)z+(y一厄)2—25，过点A(2，3√2)的弦中，弦长为正整数的有条．分析观察发现点A(2

5、，3厄)在圆内，则由圆的性质，可知过A点有一条最长的弦和一条最短的弦，这正是“题眼”，抓住这一线索，就迅速找到了解题的突破口．易求得过A点的最长弦和最短弦的长度分别为10和8，从而由对称性可知弦长为9的有两条，因此弦长为正整数的共有4条．够例4已知函数厂(z)一一2X2+439--1，又o

6、发现二≤1，“m≥1”就是“题眼”．事实上，当z∈[m，咒]时，厂(z)是单调递ff(m)-磊1，减，从而得到

7、≯车石中较小的，但不知口和≯{万中谁较小，即正确理解“^是口和≯车石中较小的一个”是解决问题的关键，即为本题的“题眼”．我们紧紧抓住矗≤口且^≤≯南，利用^2≤≯％≤i{面≤{，问题就迎刃6l口而锯．参例6已知函数厂(z)一若对任意的实数z1，．2C2，z。，不等式f(x1)4-f(x：)>f(z。)恒成立，求实数k的取值范围．+矜；瓠解决本题的关键是对已知条件“对任意的实数z。，z。，z。，不等式f(z，)+f(x：)>厂(z。)恒成立”的理解，也就是对不等式恒成立的“恒”字的理解．生活常识告诉我们，上述题目条件等价于[2厂(z)]。i。≥[厂(

8、z)]。。。(若，(z)的最小值或最大值不存在，则取“确界”——最接近厂(z)取值区间的最小实数或最大实数)，因此本题的“