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时间:2019-05-30
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1、万方数据题曝,铝题智慧之靠吴锷棋有棋眼,文有文眼,题有题眼.棋眼,乃下棋的突破口,一旦占领棋眼,即可取得绝对性的优势;文眼,则指文中最能揭示主旨、升华意境、涵盖内容的关键性词句,文眼往往奠定文章的感情基调,以及确定文章的中心;而数学问题中的“题眼”泛指试题主要落点或解题的关键点.从哲学的角度来看,就是抓住主要矛盾,问题便迎刃而解.数学解题和下棋、写文章二样,如果善于挖掘题眼,理解题眼,破解题眼,则会起到四两拨千斤之用.☆一、从数式结构上挖掘题眼,例1已知A,B,c是平面上任意三点,BC一口,CA=6,AB—c,则y—i‰+詈的最小值是——.分析观察
2、题目的结构特征,如果让口趋近于o,此时代数式y—i再c+詈符合应用基本不等式的条件,应该有最小值,相对固定b,C,即把b,C视为常数,代数式y=‘÷+旦随着正数乜的变大而变小,因此解决本题实数a的变化就是本题的主要矛盾,即本题的“题眼”.要使Y最小,只要a最大,因为A,B,C是平面上任意三点,且BC=a,CA一6,AB—c,故。的最大值是6+c,所以y—i毛+詈≥志+詈一确1+(手+虿1)~专≥扭一百1,即最小值是~/万一虿1.■例2已知实数日,6分别满足a3--3以。+5a=1,b3—3b2+5b一5,则口+b的值为分析观察题目条件a3—3a2+
3、5a一1,b3—3b24-5b=5,我们可以构造函数f(x)一z3—322+5z,则f(a)一1’厂(6)一5,通过导数f7(z)一322—6z+5>0,不难发现fCr)在R上单调递增,故丑<6.进一步尝试发现.厂(O)=0,厂(1)=3,此时断定0<盘<1<6,特别关注丛旦掣:厂(1),这就是本题的“题眼”.由此,要求a+b的值,我们大胆猜想函数厂(z)一2C3—3x2+5z的图象是中心对称图形.而厂(z)=z3—3x2+5.r一(z一1)3+2(z一1)+3的图象可以看成是由y—z3+2z的图象平移得到,即f(x)的图象关于点(1,3)中心对称
4、,故a+6—2.解题思路赏析分析题目中数式的结构特征非常重要,而发掘“题眼”往往需要通过感知,敏锐地观察,大胆运用直觉思维,迅速作出判断,从隐蔽的数学关系中找到问题的实质.而仔细观察,抓住数式的结构特征,往往能有效地挖掘题眼信息.当数学题中需要处理的数式关系很复杂或有多个时,其中往往必有一个起核心作用,抓住这个核心,露,_Vew'Universx:tyEntranceCKraminatllon一国震羹万方数据羚二、从图形特征上挖掘题眼够例3已知圆(x--1)z+(y一厄)2—25,过点A(2,3√2)的弦中,弦长为正整数的有条.分析观察发现点A(2
5、,3厄)在圆内,则由圆的性质,可知过A点有一条最长的弦和一条最短的弦,这正是“题眼”,抓住这一线索,就迅速找到了解题的突破口.易求得过A点的最长弦和最短弦的长度分别为10和8,从而由对称性可知弦长为9的有两条,因此弦长为正整数的共有4条.够例4已知函数厂(z)一一2X2+439--1,又o6、发现二≤1,“m≥1”就是“题眼”.事实上,当z∈[m,咒]时,厂(z)是单调递ff(m)-磊1,减,从而得到7、≯车石中较小的,但不知口和≯{万中谁较小,即正确理解“^是口和≯车石中较小的一个”是解决问题的关键,即为本题的“题眼”.我们紧紧抓住矗≤口且^≤≯南,利用^2≤≯%≤i{面≤{,问题就迎刃6l口而锯.参例6已知函数厂(z)一若对任意的实数z1,.2C2,z。,不等式f(x1)4-f(x:)>f(z。)恒成立,求实数k的取值范围.+矜;瓠解决本题的关键是对已知条件“对任意的实数z。,z。,z。,不等式f(z,)+f(x:)>厂(z。)恒成立”的理解,也就是对不等式恒成立的“恒”字的理解.生活常识告诉我们,上述题目条件等价于[2厂(z)]。i。≥[厂(8、z)]。。。(若,(z)的最小值或最大值不存在,则取“确界”——最接近厂(z)取值区间的最小实数或最大实数),因此本题的“
6、发现二≤1,“m≥1”就是“题眼”.事实上,当z∈[m,咒]时,厂(z)是单调递ff(m)-磊1,减,从而得到7、≯车石中较小的,但不知口和≯{万中谁较小,即正确理解“^是口和≯车石中较小的一个”是解决问题的关键,即为本题的“题眼”.我们紧紧抓住矗≤口且^≤≯南,利用^2≤≯%≤i{面≤{,问题就迎刃6l口而锯.参例6已知函数厂(z)一若对任意的实数z1,.2C2,z。,不等式f(x1)4-f(x:)>f(z。)恒成立,求实数k的取值范围.+矜;瓠解决本题的关键是对已知条件“对任意的实数z。,z。,z。,不等式f(z,)+f(x:)>厂(z。)恒成立”的理解,也就是对不等式恒成立的“恒”字的理解.生活常识告诉我们,上述题目条件等价于[2厂(z)]。i。≥[厂(8、z)]。。。(若,(z)的最小值或最大值不存在,则取“确界”——最接近厂(z)取值区间的最小实数或最大实数),因此本题的“
7、≯车石中较小的,但不知口和≯{万中谁较小,即正确理解“^是口和≯车石中较小的一个”是解决问题的关键,即为本题的“题眼”.我们紧紧抓住矗≤口且^≤≯南,利用^2≤≯%≤i{面≤{,问题就迎刃6l口而锯.参例6已知函数厂(z)一若对任意的实数z1,.2C2,z。,不等式f(x1)4-f(x:)>f(z。)恒成立,求实数k的取值范围.+矜;瓠解决本题的关键是对已知条件“对任意的实数z。,z。,z。,不等式f(z,)+f(x:)>厂(z。)恒成立”的理解,也就是对不等式恒成立的“恒”字的理解.生活常识告诉我们,上述题目条件等价于[2厂(z)]。i。≥[厂(
8、z)]。。。(若,(z)的最小值或最大值不存在,则取“确界”——最接近厂(z)取值区间的最小实数或最大实数),因此本题的“
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