确定多值函数单值解析分支值的一种简易方法

《确定多值函数单值解析分支值的一种简易方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第29卷第5期长春师范学院学报(自然科学版)2010年10月、r01．29No，5JournalofChangehunNormalUniversity(NaturalScience}Oct．201O确定多值函数单值解析分支值的一种简易方法张忠诚，柳翠华(武汉工程大学理学院，湖北武汉430073)[摘要]给定初值确定多值函数某个单值解析分支有时较难，其单值解析分支值计算更难，甚至容易出错。针对单值解析分支值的计算，本文给出了一种简易方法。[关键词]多值函数；单值解析分支；辐角[中图分类号]0174．5[文献标识码】

2、A[文章编号】1008—178X(2010)05—0003—03在复变函数中，因为辐角的多值性，导致了函数的多值性，这给计算函数值带来了困难，而多值函数值的计算，往往只是计算其某个单值解析分支值，通常采用的方法是对给定的初值，利用函数值相等[，一引，求出所对应的单值解析分支，再计算该单值解析分支函数值．然而，由于辐角的多值性，就涉及辐角值的选取问题，这样就会导致单值解析分支函数值不是惟一的．文[4]对多值函数叫=情形进行了研究，给出了切实可行的单值解析分支函数值计算方法．本文针对一般多值函数进行探讨，并给出确定多

3、值函数单值解析分支值的一种简易方法．1错解问题设函数，(。)=(1一)，将平面适当割开后能分出三个单值解析分支，求在点：2取负值的那个分支在=i时的值．函数厂()=的支点为0，1，∞，将平面沿正实轴从0到1割开，再沿负实轴割开，就可分出三个．单值解析分支：)：、玎地呼(：0，1，2)．当z=2时，取argz=0，arg(1一)=丌，则当k=1时，函数值为负，故所求分支为：()：、玎了雌幽z．，(1】当z=i时，取argi=专，Zarg(1一)：，()=一eo2(2)当。：i时，若取argi=苎，、arg(1一)=

4、一，~JA(i)=一e产生上述两种结果的原因就在于辐角arg(1～i)的选取，实事上，因为已经分图1[收稿日期】2010—05—26[基金项目】全国高等学校教学研究项目(2009IM010400—1—32)；湖北省教育厅科研项目(D20082704)。[作者简介】张忠诚(1963一)，男，湖j圻春人，武汉工程大学理学院教授，从事函数论教学与研究。·3·出了单值解析分支函数，其函数值是惟一的，因此上述结果必定有一个是错误的，后面我们将利用本文给出的方法进行判断．2确定单值分支值的方法设多值函数=厂(：)，已给单值解

5、析分支初值()，要计算终值z)，可通过以下方法进行：(1)确定多值函数支点，适当割开平面分出单值解析分支；(2)任取连接。到2的连续曲线c，曲线c不能穿过支割线；(8)计算函数=厂()从：沿曲线C到2的函数辐角改变量Az)；(4)计算单值解析分支值2)=If(2)Je。)e·’．在上述问题中，取连接=2到=i的连续曲线c(如图2)，则：C△cargz7I"l，△arg(1一)：37t"，02’，、△arJ()=17I"+)，I、、、、、一一12，图2于是：-厂()：矗m：一12，说明)：一是错误的．3实例例1试证

6、多值函数厂()：=在割去线段[一1，1]的平面上可以分出四个单值解析分支．求函数在割线上岸取正值的那个分支在点z=±i的值．解函数I厂()：=的支点为一1和1，将平面沿一1到1割开后，可分出四个单值解析分支：厂()：=~7I(1一)。(1+)l。e越(．j}：O4‘(=I}，．1，．2，．3)}。．(1)仕取从上犀剑Z=i的连续曲线C1(如图3)，则：·Actarg(1一)=一，△c1arg(1+)=7l"，cZActargf()=丢[3△clarg(1一)+Actarg(1+)]／／，＼-1Oj／／：(一+)7

7、t"●一一8‘。I所以厂()：丽詈叭：。一8t．图3(2)任取从上岸到==一i的连续曲线c2(如图3)，则：Ae2arg(1一)=一等，△c2arg(1+)=一号，△c2a：)=1[3△c3arg(1一)+Ac2arg(1+)]·4·旦、一』r一一一4、44一一一8’所以一)：而一ieOi=e-i：。警．例2已知厂()=、／广在轴上A点(OA=R>1)的初值为+~／厂而，令：由A起沿逆时针方向在以原点为中心的圆周走1／4圆周而到Y轴上B点，问l厂(=)在B点的终值为何?解令cU=Z4则当A起沿逆时针方向在以原点为

8、中心的圆周走1／4圆周而到Y轴上B点时，函数辐角改变量~arJ(=)：1△a唱(z+1)1：{△a唱(+1)：×2丌=7r．A点函数值辐角a(R)=0．因此B点的终值)=~／e一。=一v厂．通过以上例题可看出，采用本文所给方法计算单值解析分支值时，无须事先确定满足条件的单值解析分支．而目计算更简便、快捷．[参考文献][1]钟玉泉．复变函数论[M]．2版．北京：高等教育出版