单值函数的奇点

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1、单值函数的奇点孤立奇点若函数f(z)在某点不可导，但在该点的某一去心邻域内可导，则称该点为f(z)的孤立奇点。非孤立奇点若函数f(z)在点在某点不可导，且在该点任邻在该点的任一邻域内总有该点以外的奇点存在，则称该点为非孤立奇点。1例4.17z0是函数f()z的一个孤立奇点,而z0z11是函数fz()sin的一个非孤立奇点.z1设zb是单值函数f()z的一个孤立奇点,则一定存在环域0zbR,f()z在该环域内可以展开Laurentk级数fz()Czbk。这时可能出现三种情况：k1、级数不含负幂项，b称为可去奇点。2、级数展开式含有m

2、项负幂项，b称为m阶极点。3、级数含有无穷多项负幂项，b称为本性奇点。2n2nsinz1z例z0是函数fz(),zznn021!1的可去奇点;zn是函数fz()的一阶极点;sinz1z0是函数f()zez的本性奇点.3判定孤立奇点的性质1、f()z以孤立奇点b为可去奇点的充要条件为以下三条中的任一条:a.fz()在b点没有主部．b.极限lim()fz存在且有限．zbc.f()z在b点的某去心邻域内有界．42、f()z以孤立奇点b为m阶极点的充要条件为以下三条中的任一条:1a.f()z在b点的主部为k．Czbkkmb.fz()

3、在b点的某去心邻域内能表示成mf()z()zzb,其中()z在b点的邻域内解析且()0b．1c.gz()fz()以b点为m阶零点．53、孤立奇点b为函数f(z)的本性奇点的条件是函数在b点的极限不存在。若函数在b点的极限存在且有限，在b点是函数的可去奇点；若函数在b点的极限为，则b点是函数的可去极点；所以当b点为本性极点时，函数在该点的极限为一部确定值，即极限不存在。1例z0是函数fz()ez的本性奇点.6无穷远点的性质前边讨论的都是奇点为有限远点的情况,现在我们讨论z的情况。若存在一正数R,使得f(z)在以z0为圆心，R为半径的圆外每一点z

4、R（包含z）都是可导的，则称在无穷点的邻域内解析。1如函数f()z，当z1时，函数处处解析，故z1它在无穷远点解析。7无穷远点的性质前边讨论的都是奇点为有限远点的情况,现在我们讨论z的情况。设函数fz在点的某无心邻域rz内解析，则称无穷远点是该函数的一个孤立奇点。sinz如函数fz()，当z0时，函数除无穷远点z外别无奇点，即函数在0z内解析,故无穷远点是该函数的一个孤立奇点。8为了研究函数在无穷远点的性质,可以做变换t1z,把无穷远点变换到z0点:fff()zf1tt.如函数()t在t0的邻域t内解析，则f()z

5、在无穷远点的邻域zR1解析；若()t在t0的邻域0t内解析，即t0是()t的孤立奇点，则f()z在1Rz中解析，即z为fz()的孤立奇点。9设()t在t0的去心邻域0t内的Laurent展开kk为()tC'kktC'tt,0．则函数f()zkk10在无穷远点的Laurent展开为：kkkkf()zCCCCC''kkkkzCzCzCz,kkk010k1CCkkk',1,2,;RzR110sinz例求f()z在孤立奇点无穷远点的Laurent展开

6、。z解:k1121kfzzzkk021!k12kzz,0k021!k11无穷远点作为孤立奇点的分类(1)若f()z在无穷远点的Laurent展开式中不含正幂项，则z称为f()z的可去奇点。(()2)若f()z在无穷远点的Laurent展开式中含有有限项（ｍ项）正幂项，则z称为fz()的（ｍ阶）极点。(3)若f()z在无穷远点的Laurent展开式中含有无限项正幂项，则z称为f()z的本性奇点。121例无穷远点是(()a)f()zzsin的可去极点;znn1（b）Pzazaza的n阶奇点；nnn1

7、0z（c）f()ze的本性奇点。13TheEndTheEnd14作业()(5)P969.(1),(3),(5);12.(4),(6)13.(1),(5),(10),(12);16.15