单参数曲面切族芽的奇点理论

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1、硕士学位论文群∥，将其作用于曲面切族芽的r导网，给出了稳定的1．参数曲面切族芽的分类，得到了稳定的非几何包络面在∥一等价下的形式和它的奇点的分类．2曲面族芽及其非几何包络面的奇点分类2．基本概念和性质2．1曲面切族芽的定义本章以及下文所考虑的映射都限制在原点很小的邻域内．我们用微分几何中关于正则曲面S的参数化表示，将其定义为：S：R2一R3(缸，”)Hr=r(u，tJ)=(z(tI，口)，uCu，t，)，z(u，t，))．其中ruX％k。)≠0，(t‘，t，)∈R2．全文假定r(o，0)=(o，0，0

2、)的情况．因为r(o，0)≠(o，0，o)，只要作—个平移即可．过曲面s的1一参数曲面族芽为：&：(R2×R，0)(t‘，口；入)一(R3，0)Hr=r(u，口；A)其中入为族参数，u和郇为曲面参数．对任意A=知，氏：r=r(u，t，；～)为正则曲面．特别，当入=0时，岛：r(u，仃；0)=r(Ⅱ，")．单参数曲面族芽是正则曲面在原点附近的运动，因此也称风为S的单参数形变．定义2．1．1对于给定的单参数正则曲面族芽&：r=r(u，t，；入)，如果向量7(o，o；A)位于曲面r(t‘，t7；A)在点(0

3、，o；A)的切平面上，则称毋为s：r=r(tI，t7)的单参数曲面切族芽或单参数切形变映射AHt．=t．(o，o；入)是一条曲线，称为族&的支．例曲面族芽：r=r(u，t，；入)=(入+u，A+v，u2+v2)是椭圆抛物面z=护+∥2的单参数曲面切族芽(如图1)．3硕士学位论文图1椭圆抛物面的单参数切形变由此可见单参数曲面切族芽是一系列正则曲面的运动，这种运动是从一个正则曲面变到另一个正则曲面，这样的运动会使得有一张曲面公切于它们，我们给这样的曲面下一个定义如下：定义2．1．2110l对于给定的单参数

4、正则曲面族&：r(u，u；入)和对应的曲面9：r(入，t)=，．(u(入，￡)，钉(A，t)；￡)．若对S+上的任意点r·(A，￡)，在曲面族中都存在对应曲面&，。与S‘公切于该点，而且曲面族中的每张曲面都与S·公切于某点，则称曲面S‘为单参数曲面族&的包络面．一般地，单参数正则曲面族风：r(u，t，；A)的包络面r．(入，t)是一张正则曲面，对于单参数曲面切族芽&的包络面r．(入，￡)，如果有非正则点我们给出如下定义：定义2．1．3若单参数曲面切族芽&的包络面S·：r．(入，t)在某点的Jaaobi

5、矩阵的秩小于2(该点即为r．的奇点)，则称9：r．(入，t)是&的非几何包络面．4曲面族芽及其非几何包络面的奇点分类2．2映射芽的等价关系及其切空间记￡n，勺分别表示(Rn，o)和(Rp，0)上的光滑函数芽环．E(n，P)为(舯，0)_÷舯的全体光滑映射芽构成的集合(n≥p)，它是一个有限生成的En一模．记露={圣：(Rn,0)一(Rn，o)为C”可逆芽)，?={皿：(Rp，0)_(Rp，o)为COO可逆芽)，∥=P×曰，则∥是具有单位元的群，称为左右等价群．设两个俨映射芽，，g：(Rn,0)．+(R

6、p，o)，若存在(皿，圣)∈∥使得则称，与g是∥一等价的．令g=皿一1ofo圣∥·，=．【皿一1ofo圣I西∈曰，皿∈P)它是，在群∥作用下的轨道．在∥群作用下，处的切空间定义为：刎，)-“差，⋯，差}+，．帏)(e¨一砧，其中e-，⋯，e，为向量空间Rp的标准基广为，所诱导的环同态：，‘：勺_￡n，hH，。(^)=h0，．定义2．2．1设f∈e(n，p)，称，是一个具有有限∥一余维的映射芽，如果商空间E(n，p)／Ted(f)是一个有限维实向量空间，且称codimf=dimae(n，p)／正∥(，)

7、为，的∥一余维数．定义2．2．2设f∈￡(n，p)，若Ted(f)=￡(n，p)，则称，是稳定的．5硕士学位论文定义2．2．3181设，：”_Rp为C∞映射，如果z∈R“使得rankDf(x)

8、I(fo圣)(霉)≠0，detD圣Iz≠0．由高等代数可知D，l毒与仍I￡有相同的秩．则，，g的临界值集分别为Io西(∑)和9(∑)，其中∑，={fig∈舯：rankDf(x)<升是，的临界点集，而且g(∑。)=皿一1o，o西(∑，)．口定义2．2．5设I∈￡(n，p)．若g∈e(n，P)满足j『‘9=jkJ，就有gs／一等价于，，则说，是k一∥一决定的．令兹={，∈Enf(0)=o)，用俐p表示兹×⋯×兹．设f∈柳p，J=(^，⋯，厶)；投射7ri：R