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1、平面非线性系统的奇点分析（数学与应用数学）学生：张西指导老师：杜正东摘要:本文主要讨论了平面非线性常微分方程组的奇点的定性性质，包括其类型和稳定性，以及系统的相图在奇点附近的拓扑结构。总结了平面非线性系统奇点分析的一些方法和结果。并将上述结果应用到了三次约化Kukles系统。关键词：奇点，鞍点，焦点，结点。§1引言由常微分方程本身的结构来直接研究和判断解的性质，这是常微分方程定性理论的基本思想。众所周知，常微分方程（组）大量存在于描述自然现象的数学模型中，它已成为自然科学和尖端技术，包括自动控制理论，航天技术生物技术，经济学等的研究中不可缺少的数学工具。常微分方程的
2、定性研究的目的是要搞清楚系统在相空间的轨道分布状况。相对与高维系统来说，二维自治系统的情况更单纯，因为在平面上有Jordan闭曲线定理即：任何R2上的单闭曲线L将R2分成两部分——D1和D2,自D1内任何一点到D2内任何一点的连续路径必定与L相交。只有对奇点的性质的研究透彻，才能更好的对其他问题进行研究。对于平面非线性系统的的定性分析，最重要的是研究一些特殊的轨道，如奇点（即平衡点）。周期轨等，只要我们把一个系统在这些特殊轨道附近的状况分析清楚了，该系统的整体相图结构也就大致清楚了。因此作为平面非线性分析的第一步，奇点分析是最简单，也是最基本的工作。本文则主要讨论了
3、平面非线性微分方程组的奇点的定型性质。总结了平面非线性系统奇点分析的一些方法和结果。§2平面线性系统的奇点分析定义：[奇点]设若x0∈Rn满足F(x0)＝0，则x=x0叫做方程的一个奇点。给定一个平面非线性系统：，当（0,0）为奇点时，若P,Q均二阶可微，则在（0,0）附近总可以用Taylor展式展开表示为：的形式，其中R1(x,y),R2(x,y)为高阶项，即:,自然想到在原点（0,0）附近的轨道分布是否和它的第一近似方程组:（2.1）的相似，其中a,b,c,d是实数，首先我们必须把平面线性系统在奇点附近的状况搞清楚。为此我们首先给出平面齐次线性方程（2.1）种奇
4、点定性性质的分类准则.系统（2.1）的系数矩阵的特征方程为：,令p=-(a+b),q=ad-bc,则,它的根为：奇点的性质可总结如下：（1）q＜0是异号实根0为鞍点（2）q＞0,p＞0,p2-4q＞0,同为负实根，这时奇点0为稳定结点（3）q＞0,p＞0,p2-4q＜0此时奇点0为稳定焦点。（4）q＞0,p＜0,p2-4q＞0,同是正实根，此时奇点0为不稳定结点。（5）q＞0,p＜0,p2-4q＜0，此时奇点0为不稳定焦点。（6）q＞0,p＝0，是一对共轭虚根，这时奇点0为中心。(7)q＞0,p＞0,p2-4q＝0是一对负实重根：a)设初等因子是单的，这时奇点0为稳
5、定临界点。b）设初等因子是重的，这时奇点0为稳定退化结点。(8)q＞0,p＜0,p2-4q＝0，是一对实重根：a)设初等因子是单的，奇点为不稳定临界点。b):初等因子是重的，奇点0为不稳定退化结点。(9)q=0，a)a=b=c=d,这时（x,y）平面上每一点都为奇点。b)a=b=0或（c=d=0）但c2+d2≠0或（a2+b2≠0）此时x=c是解，直线cx+dy=0上都是奇点。c)c2+d2≠0,a2+b2≠0,再者或者ac≠0或bd≠0设ac≠o则原方程可化为：是解§3平面非线性系统奇点分析的一般方法在§2节我们讨论了线性系统奇点的定性性质，对于非线性系统来说。当
6、其线性部分的系数矩阵的特征值实部全部不为0时，它在奇点附近的相图的拓扑结构是一样的。但当其线性部分的系数矩阵的特征值有零实部时，情况就要复杂得多。本节给出了讨论非线性系统在平衡点附近的相图结构的统一处理方法。给定方程：（3.1）设0（0,0）是（3.1）的奇点，即X(0,0）=Y(0,0)=0设Z(x,y),Y(x,y),在原点附近对x,y有高阶偏导数,则（3.1）可写为：（3.2）其中Xm,Yn,分别是x和y的m,n次齐次多项式，m,n≥1,当r→0,=o(rm)，=o(rn)其中，进一步假设Xm,Yn,互质。定义3.1设L是方程的轨线，点A(r,)是L上的动点，
7、若当r→0时有→则轨线L叫做沿固定方向进入奇点0(0,0).定义3.2设原点0为方程组（3.1）的孤立奇点。如果存在序列,当n→∞时有rn→0，→且，其中是（3.1）在An点的方向场的向量，（或称场向量）与坐标向量的夹角（从向量半径逆时针方向转向场向量）的正切，则=叫做（3.1）的特殊方向。令是P(r)点处的坐标向量与场向量的夹角，便有：由定义3.2若是特殊方向，则在点列An（）上必有：令则,（3.2）变为:令：令：则由上式得：其中时定理3.1设G()＝０无实根，则0（0,0）是(3.2)的中心，中心焦点或焦点→G()≡0,称为奇异情形此时m=n，：变换y=ux
