解析函数的孤立奇点课件.pptx

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1、§5.2解析函数的孤立奇点1、孤立奇点的分类2、孤立奇点的性质3、Schwarz引理4、Picard定理定义5.2如果f(z)在点a的某一去心邻域K-{a}:0<

2、z-a

3、

4、点.设为定义5.3设a为f(z)的孤立奇点.(2)如果f(z)在点a的主要部分为有限多项,(3)如果f(z)在点a的主要部分有无限多项,则称a为f(z)的本性奇点.定理5.3a为f(z)的可去奇点，则以下三条等价2、孤立奇点的特征(2)(1)f(z)在点a的主要部分为零;(3)f(z)在点a的某去心邻域内有界.证只需证(1)(2);(2)(3);(3)(1)(1)推出(2)：由(1)知于是2.1.可去奇点(2)推出(3):即例1.27.

5、f(z)

6、≤M(M>0).考虑f(z)在点a的主要部分(3)推出(1):设当a∈K-{a}＝{z

7、0<

8、z-a

9、

10、时注：a为可去奇点时，补充f(z)=c0,则a就成为f(z)的解析点了。2.2极点的特征定理5.4如果f(z)以a为孤立点,则a为f(z)的m阶极点(1)f(z)在a点的主要部分为(2)f(z)在点a的某去心邻域内能表成其中λ(z)在点a邻域内解析,且λ(a)≠0以a为m阶零点(可去奇点a要当作解析点看,只要令g(a)=0).证(1)(2):设在点a的某去心邻域内有其中：显然在点a的邻域内解析,且(2)(3):设在点a的某去心邻域内有其中在点a的某去心邻域内解析,且因此a为g(z)的可去奇点,作为解析点来看,只要令g(a)=0,a就为g(z)的m级零点.

11、(3)(1):如果以点a为m级零点,则在点a的某邻域内其中在此邻域内解析,且.这样一来因1/(z)在点a某邻域内解析(例1.28),则可展成泰勒级数，设为：于是f(z)在点a的主要部分就是定理5.5f(z)的孤立奇点a为极点的充要条件是例2求函数的所有有限奇点，并确定他们的类型.求下列函数例1的所有有限奇点，并确定他们的类型.定理5.6f(z)的孤立奇点a为本性奇点2.3本性奇点的特征证明：(反证法)若a不是f(z)的本性奇点a是f(z)的可去奇点a是f(z)的极点a是f(z)的可去奇点a是f(z)的极点定理5.7若z=a为f(z)之一本性奇点,

12、且在点a的充分小去心邻域内不为零,则z=a亦必为的本性奇点.证（反证法）①若z=a为(z)的可去奇点(解析点),都与假设矛盾②若z=a为(z)的极点a为f(z)的可去奇点a为f(z)的可去奇点a为f(z)的极点例5.8：0是函数的本性奇点，不难看出不存在。解：当z沿正实轴趋近于0时，趋近于当z沿负实轴趋近于0时，趋近于0；当z沿虚轴趋近于0时，极限不存在。142021/9/8奇点孤立奇点非孤立奇点支点可去奇点极点本性奇点（单值函数的）（多值函数的）注：就本书所遇到的奇点情况来看，可以列表如下：席瓦尔兹(Schwarz)引理如果函数f(z)在单位圆

13、

14、z

15、<1内解析,并且满足条件f(0)=0,

16、f(z)

17、<1(

18、z

19、<1),则在单位圆

20、z

21、<1内恒有

22、f(z)

23、≤

24、z

25、,)且有

26、f‘(0)

27、≤1.3、Schwarz引理如果上式等号成立,或在圆

28、z

29、<1内一点z0≠0处前一式等号成立,则(当且仅当)其中α为一实常数.定理5.8如果a为f(z)的本性奇点,则对于任何常数A,不管它是有限数还是无穷,都有一个收敛于a的点列{zn},使得4、Picard(毕卡)定理证(1)在A＝∞的情形,定理是正确的.因为函数f(z)的模在a的任何去心邻域内都是无界的.否则,a必为f(z)的可去奇点Weierstrass定理(2)

30、现在设.这样,由定理5.7,函数在K-{a}内解析,且以a为本性奇点(因a为f(z)的本性奇由此推出可能有这种情形发生,在点a的任意小的邻域内有这样一点z存在,使f(z)=A.定理得证因此,我们可以假定,在点a的充分小去心邻域K-{a}内f(z)≠A点).根据前面(1)段的结果,必定有一个趋向a的点列{zn}存在,使得(3)Weierstrass定理等价表述在本质奇点的无论怎样小的去心领域内，函数f(z)可以取任意接近于预先给定的任何数值（有限的或无穷的）。用下列例子来验证定理5.8成立例1A=∞A≠∞例2A=∞A=0A≠0,A≠∞定理5.9(毕卡(大)定理)

31、如果a为f(z)的本性奇点,则对于每一